桌面上有三个半径为R的小球俩俩相切另有一个小球与桌面相切

发布网友发布时间：2023-06-09 15:36

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热心网友时间：2024-01-22 09:31

设三个球的中心分别是A、B、C，△ABC中心为D，小球的中心为E，D在平面上的投影为F.
AD²=R²+（0.5AD）²
AD²=4/3*R²
因为FD=r，所以ED=R-r
AE=R+r
AD²+ED²=AE²
4/3*R²+（R-r）²=（R+r）²
4/3*R²=4Rr
r/R=1/3

热心网友时间：2024-01-22 09:31

第一步：将球的问题看成平面的问题，因为两两相切则球心均在同一平面。只看包含球心和切点的那一个平面。
第二步：将平面上三个大圆的圆连接组成三角形，因为圆两两相切且半径均为R，则三角形三边均为2R，为等边三角形。
第三步：将小圆的圆心（设为O）与三个大圆的圆心（即等边三角形三个顶点设为P1、P2、P3）相连，因与三个大园相切，则O与三个P点距离（即OP长度）相同且为R+r。
第四步：由等边三角形的性质可知，此时O点是三角形的中心，也是重合三个交点（角平分线交点、垂直平分线交点、高的交点），延长OP1至与三角形一边相交于Q，可知角OP2Q为三角形顶角一半即30°。
第五步：综上可知线段QP2/OP2=cos30°，即：R/（R+r）=cos30°，解得r/R=（2-根号3）/根号3

桌面上有三个半径为R的小球俩俩相切 另有一个小球与桌面相切

桌面上有三个半径为R的小球俩俩相切另有一个小球与桌面相切