两道高数基础题 证明 a=infA的充分必要条件是：a为A的下界，且对任意ε>0，存在X0∈A，使得X0<a+ε
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发布时间：2023-01-13 01:26
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时间：2023-11-02 21:28
直观上讲 A的下确界 是A下界中最大的 一个
在知道a是A的下界时要说明a最大
不管ε（ε>0)怎么变 那么在a到比a大一点点的数a+ε之间一定有A中的数
不然你想想 如果a是不是下界中最大的 那么只要只要ε取的足够小
a到a+ε之间就没有A里边的元素了
所以 我们得到条件
a=infA的充分必要条件是：a为A的下界，且对任意ε>0，存在X0∈A，使得X0<a+ε
以下是证明：
必要性（必要性就是下确界的直观定义，有下确界定义“最大的下界”来推证该条件的）
反证法：假设若a不是infA 那么存在某个ε>0 使得A中不存在元素存在于（a，a+ε）
所以有原命题
充分性（还要反证）
假设若a为A的下界，且对任意ε>0，存在X0∈A，使得X0<a+ε，但是b=infA.
依据假设必然有
(1)a<b
(2)设A的最大元是X，由ε>0，及其任意性知A=(a,X]
(3)同时b=infA，利用必然性的证明，有b为A的下界，且对任意ε>0，存在X0∈A，使得X0<b+ε
那么有（b,X]=A
利用（2）（3）可得A=(a,X]=（b,X]
但是由于（1）知(a,X]=(a,b]并上(b,X]
矛盾，故假设不成立。
第二题
数集A中有最小数minA，且minA=sup{1/n|n∈Z+}
这是上确界的定义，两个结论同时成立。本体只要说明A有最小元就行
由于数列{1/n}单调递减，所以对任意的n，1大于所有的1/n，所以1是数列{1/n}的上界
下证1是数列{1/n}的上确界
假设1不是上确界，根据“有界数列必有上确界”知
那么存在a=sup{1/n|n∈Z+}且a>1,那么依照上确界的定义，只要取ε=(a-1)/2,那么不存在数列{1/n}中的元素x，使得x>a-ε=(a+1)/2>(1+1)/2=1。a不符合上确界定义。故1是上确界。
所以依据上确界定义1=minA，且1=minA=sup{1/n|n∈Z+}
热心网友
时间：2023-11-02 21:29
