a b c 均为n阶矩阵 ab=c 且b可逆，为什么有c的列向量组与a的列向量组等价
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发布时间：2023-01-17 21:17
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时间：2023-11-19 22:05
证明：
因为C=AB，
所以C的列向量组可以由A的列向量组线性表示．
又因为B可逆，
所以AB=C变为A=CB^-1．
从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，因此，C的列向量组与C的列向量组是等价的。
此问题关键在于B矩阵可逆，所以可以变形为A=CB^-1，从而得出后续结论。题中没有说A矩阵和C矩阵可逆，所以无法推出C的行向量与A的行向量等价，也无法推出C的行向量与B的行向量等价，C的列向量与B的列向量等价。
扩展资料：
在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=Q-1AP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，存在可逆矩阵，A经过有限次的初等变换得到B。
（1）矩阵A和A等价(反身性）；
（2） 矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；
（3）矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；
（4） 矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数) 具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解
对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：
（1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。
（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。
参考资料：百度百科-等价矩阵
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时间：2023-11-19 22:06
证明：
因为C=AB，
所以C的列向量组可以由A的列向量组线性表示。
又因为B可逆，
所以AB=C变为A=CB^-1。
从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，因此，C的列向量组与C的列向量组是等价的。
此问题关键在于B矩阵可逆，所以可以变形为A=CB^-1，从而得出后续结论。题中没有说A矩阵和C矩阵可逆，所以无法推出C的行向量与A的行向量等价，也无法推出C的行向量与B的行向量等价，C的列向量与B的列向量等价。
向左转|向右转
扩展资料
等价矩阵的证明
a1,a2,....an,线性无关，而a1,a2,....an,b,r线性相关，所以有x1a1+x2a2+....xnan+xb+yr=0,若y=0,则x1a1+x2a2+....xnan+xb=0,说明a1,a2,...an,b线性相关。
同理x=0,可得a1,a2,....an,r线性相关。
若x,y都不为零，两边除以x可得-b=x1/x)a1+(x2/x)a2+...+(xn/x)an+(y/x)r,这表示b可以用a1,a2,....an,r.表示。
若除以y可证明r可以用a1,a2,....an,b表示，这就说明a1,a2,....an,b与a1,a2,....an,r等价.综合可得命题得证。
当A和B为同型矩阵，且r（A）=r（B）时，A，B一定等价。
参考资料来源：百度百科-等价矩阵
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时间：2023-11-19 22:06
A=CB^{-1}---->A的列向量组可以由C的列向量组线性表示。
所以A的列向量组与C的列向量组等价。追问AB=C B可逆 为什么得不到C的行向量与B的行向量等价？
追答右边乘以一个矩阵，是对这个矩阵进行列变换，
在左边乘以一个矩阵，是行变换。
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时间：2023-11-19 22:07
又b可逆，所以a=c把矩阵a=cb-1．
从而a的列向量组也可以由c的列向量组线性表示．
因此，c的列向量组与c的列向量组是等价的．
故选：b．
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时间：2023-11-19 22:05
证明：
因为C=AB，
所以C的列向量组可以由A的列向量组线性表示．
又因为B可逆，
所以AB=C变为A=CB^-1．
从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，因此，C的列向量组与C的列向量组是等价的。
此问题关键在于B矩阵可逆，所以可以变形为A=CB^-1，从而得出后续结论。题中没有说A矩阵和C矩阵可逆，所以无法推出C的行向量与A的行向量等价，也无法推出C的行向量与B的行向量等价，C的列向量与B的列向量等价。
扩展资料：
在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=Q-1AP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，存在可逆矩阵，A经过有限次的初等变换得到B。
（1）矩阵A和A等价(反身性）；
（2） 矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；
（3）矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；
（4） 矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数) 具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解
对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：
（1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。
（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。
参考资料：百度百科-等价矩阵
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时间：2023-11-19 22:06
证明：
因为C=AB，
所以C的列向量组可以由A的列向量组线性表示。
又因为B可逆，
所以AB=C变为A=CB^-1。
从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，因此，C的列向量组与C的列向量组是等价的。
此问题关键在于B矩阵可逆，所以可以变形为A=CB^-1，从而得出后续结论。题中没有说A矩阵和C矩阵可逆，所以无法推出C的行向量与A的行向量等价，也无法推出C的行向量与B的行向量等价，C的列向量与B的列向量等价。
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等价矩阵的证明
a1,a2,....an,线性无关，而a1,a2,....an,b,r线性相关，所以有x1a1+x2a2+....xnan+xb+yr=0,若y=0,则x1a1+x2a2+....xnan+xb=0,说明a1,a2,...an,b线性相关。
同理x=0,可得a1,a2,....an,r线性相关。
若x,y都不为零，两边除以x可得-b=x1/x)a1+(x2/x)a2+...+(xn/x)an+(y/x)r,这表示b可以用a1,a2,....an,r.表示。
若除以y可证明r可以用a1,a2,....an,b表示，这就说明a1,a2,....an,b与a1,a2,....an,r等价.综合可得命题得证。
当A和B为同型矩阵，且r（A）=r（B）时，A，B一定等价。
参考资料来源：百度百科-等价矩阵
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时间：2023-11-19 22:06
A=CB^{-1}---->A的列向量组可以由C的列向量组线性表示。
所以A的列向量组与C的列向量组等价。追问AB=C B可逆 为什么得不到C的行向量与B的行向量等价？
追答右边乘以一个矩阵，是对这个矩阵进行列变换，
在左边乘以一个矩阵，是行变换。
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时间：2023-11-19 22:07
又b可逆，所以a=c把矩阵a=cb-1．
从而a的列向量组也可以由c的列向量组线性表示．
因此，c的列向量组与c的列向量组是等价的．
故选：b．
