如何证明lnx是调和函数

发布网友 发布时间：2023-02-03 10:09

我来回答

共4个回答

热心网友 时间：2024-11-18 16:32

调和函数：如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程，则称二元函数f(x,y)为区域Ω中的调和函数。

首先需要说明什么是连续

eg:

1/x ->x不能取0

lnx ->x需要大于0

这些有不能取的值的就是不连续函数

调和函数首先需要满足其关于x,y的二阶偏导均为连续

u(x,y)=x2+xy3

u'x=2x+y3

u'y=3xy2

u'x'x=2 ->连续

u'y'y=6xy ->连续

u'x'y=3y2 ->连续

u'y'x=3y2 ->连续

其次，需要满足 u'x'x+u'y'y=0

u'x'x+u'y'y≠0 ->不符合条件，故而该函数不是调和函数

eg:

u(x,y)=x3-6x2y-3xy2+2y3

证明调和函数，需要经过2次判断

1、证明其二阶偏导数连续

u'x=3x2-12yx-3y2

u'y=-6x2-6xy+6y2

u'x'x=6x-12y

u'x'y=6x-12y

u'y'y=-6x+12y

u'y'x=-12x-6y

2、如果u'x'x+u'y'y=0，则函数为调和函数

u'x'x+u'y'y=6x-12y-6x+12y=0 ->该函数为调和函数

共轭调和函数的计算

v(x,y)=∫u'xdy+∫[-u'y-(∫u'xdy)'x]dx+C

已知调和函数和共轭调和函数，->解析函数

① 计算f(x)=u(x,0)+iv(x,0)

② 将①中的x换成z

热心网友 时间：2024-11-18 16:33

在数学、数学物理学以及随机过程理论中，都有调和函数的概念。一个调和函数是一个二阶连续可导的函数f:U→R（其中U是R里的一个开子集），其满足拉普拉斯方程，即在U上满足方程：[2]

上式也经常写作
，其中符号是拉普拉斯算子。
调和函数还用一个较为弱的定义，但这个定义与上述的定义是等价的。
运用拉普拉斯-德拉姆算子，调和函数可以在任意的黎曼流形上定义。在这种情况下，调和函数直接定义为：满足
一个的函数如果满足，则被称作次调和函数。调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。

对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。

热心网友 时间：2024-11-18 16:33

lnx在区域D内存在二阶连续偏导数的实函数U(x,y,z),如果在D内满足拉普拉斯方程Δu=2u/x2+2u/y2+2u/z2=0,则称U(x,y,z)为区域D上的调和函数.

热心网友 时间：2024-11-18 16:34

调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，所以lnx是调和函数