如图所示,在矩形ABCD和矩形BFDE中,若AB=BF,求证:MN⊥CF.
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发布时间：2022-12-25 13:31
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时间：2023-10-12 14:53
证明：如图，连结BD． 在矩形ABCD和矩形BFDE中，∵AB＝DC，BF＝DE(矩形的对边相等)． 又∵AB＝BF，∴AB＝BF＝DE＝DC(等量代换)． 在△ABM和△EDM中， ∠A＝∠E＝ (矩形的四个角都是直角)， ∠AMB＝∠EMD(对顶角相等)， ∵AB＝DE(已证)，∴△AMB≌△EMD(AAS)， ∴BM＝MD(全等三角形对应边相等)， ∵BE∥DF，AD∥BC(矩形对边平行)， ∴四边形BMDN是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)， ∴MN⊥BD(菱形对角线互相垂直)， BN＝DN(菱形的四条边相等)． ∴∠1＝∠2(等边对等角)． 同理可证△BNF≌△DNC， ∴NF＝NC(全等三角形对应边相等)， ∴∠3＝∠4(等边对等角)， ∴∠1＝∠4(三角形内角是 )， ∴BD∥CF(内错角相等，两直线平行)． 又∵MN⊥BD， 故MN⊥CF(垂直于两条平行线中的一条必垂直于另一条)． 解析：由题目的已知条件易证△AMB≌△EMD，故BM＝MD． 所以四边形BMDN是菱形，连结BD，根据菱形的性质BD⊥MN，同理可证△BNF≌△DNC，则NF＝NC，NB＝ND． 所以∠NBD＝∠NDB＝∠NFC＝∠NCF，则CF∥BD， 故MN⊥CF． 说明：证垂直问题可应用菱形两对角线互相垂直的性质，这也是证明垂直的一种方法．
