求证：一群有限个正数的n次方之和的开n次方等于这群数中的最大者.
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发布时间：2022-12-26 13:13
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时间：2023-10-15 19:12
lim{n
→
∞}
(a1^n+a2^n+...+am^n)^(1/n)
=
max{a1,a2,...,am}.
不妨设a1
=
max{a1,a2,...,am}.
则a1
≥
ak
>
0,对k
=
1,2,...,m成立.
于是a1^n
≤
a1^n+a2^n+...+am^n
≤
m·a1^n.
a1
≤
(a1^n+a2^n+...+am^n)^(1/n)
≤
m^(1/n)·a1.
当n
→
∞,有m^(1/n)
→
1.
于是a1
≤
lim{n
→
∞}
(a1^n+a2^n+...+am^n)^(1/n)
≤
a1.
即lim{n
→
∞}
(a1^n+a2^n+...+am^n)^(1/n)
=
a1
=
max{a1,a2,...,am}.
