诺贝尔数学难题
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发布时间：2022-12-17 08:44
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时间：2023-09-15 03:48
如果按严格的尺规作图来解，三等分角是无解的，这个问题已经得到证明。其理论依据出自于十九世纪发展出来的域论。不过，如果放宽*，使用有刻度的直尺，则三等分角是可能的。但这在尺规做图法则中是不允许的。
域论（field theory，或译作“体论”）是抽象代数的分支，研究域的性质。在抽象代数中，域（Field，或译为体）是一种可进行加、减、乘和除（除了除以零之外）运算的代数结构。域的概念是数域以及四则运算的推广。
关于尺规作图三等分角无解的证明，有一种简单的表述：
任何可以在尺规作图规定下完成的几何物件，其座标需为规矩数，规矩数的必要条件为一代数数，且最小多项式次数为2的n次方。 假设可以用尺规作图将任意角三等分，代表对任意角度 A，均可以由尺规作图得到 A/3，而cos A/3也会是规矩数。
令 A = π/3, x =cos A/3 = cos π/9
根据三倍角公式：
cos A = 4 (cos A/3)^3 - 3 cos A/3 【^3表示3次方】
因此
4X^3 - 3X = cos A = cos π/3 = 1/2
8X^3 - 6X - 1 = 0 【同上，^3表示3次方】
此方程式无有理数解，且其次数为3，不满足2的n次方的形式，因此 x = cos π/9 不是规矩数，也就代表无法用尺规作图得到 π/9，与假设矛盾，因此无法用尺规作图将任意角三等分，三等分角问题因而宣告无解。
刚才提到，如果放宽*，采用“作弊”的方法，则三等分角是有可能的。下面就是作图的过程：
首先，在直尺上有两个刻度，相距AB。把角上的直线延长，并作一个半径为AB的圆。
把直尺的一点固定在A，并将直尺绕着点A移动，直到其中一个刻度位于点C，另一个刻度位于点D，也就是说，CD = AB。这时，角b就是角a的三分之一。
证明：
1.e + c = 180°。
2.e + 2b = 180°。
3.两式相减，得c = 2b。
4.d + 2c = 180°，因此d = 180° − 2c，把上式代入，得d = 180° − 4b。
5.a + d + b = 180°，因此a + (180° − 4b) + b = 180°。
所以，a − 3b = 0，或a = 3b。证毕。
关于三等分角的历史是这样的：
公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山大城。他凭借优越的地理环境，发展海上贸易和手工艺，奖励学术。他建造了规模宏大的“艺神之宫”，作为学术研究和教学中心；他又建造了著名的亚历山大图书馆，藏书75万卷。托勒密一世深深懂得发展科学文化的重要意义，他邀请著名学者到亚历山大城，当时许多著名的希腊数学家都来到了这个城市。
相传亚历山大城郊有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。圆形别墅中间有一条河，公主的居室正好建立在圆心处。别墅南北围墙各开了一个门，河上建了一座桥，桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上。国王每天赏赐的物品，从北门运进，先放到南门处的仓库，然后公主再派人从南门取回居室。
一天，公主问侍从：“从北门到我的卧室，和从北门到桥，哪一段路更远？”侍从不知道，赶紧去测量，结果是两段路一样远的。
过了几年，公主的妹妹小公主长大了，国王也要为她修建一座别墅。小公主提出她的别墅要修的像姐姐的别墅那样，有河，有桥，有南北门。国王满口答应，小公主的别墅很快就动工了，当把南门建立好，要确定桥和北门的位置时，却出现了一个问题：怎样才能使得北门到卧室和北门到桥的距离一样远呢？
设，北门的位置为Q，南门的位置为P，卧室（圆心）为O，桥为K，
要确定北门的和桥的位置，关键是做出∠OPQ，设PO和河流的夹角是α
由 QK=QO，
得 ∠QKO=∠QOK
但是∠QKO=α+∠KPO，
又∠OQK=∠OPK
所以在△QKO中，
∠QKO+∠QOK+∠OQK
=（α+∠KPO）+（α+∠KPO）+∠KPO
=3∠KPO+2α=π
即∠KPO=（π-2α）/3
只要能把180-2α这个角三等分，就能够确定出桥和北门的位置了。解决问题的关键是如何三等分一个角。
工匠们试图用尺规作图法确定出桥的位置，可是他们用了很长的时间也没有解决。于是他们去请教阿基米德。
阿基米德用在直尺上做固定标记的方法，解决了三等分一角的问题，从而确定了北门的位置。正当大家称赞阿基米德了不起时，阿基米德却说：“这个确定北门位置的方法固然可行，但只是权宜之计，它是有破绽的。”阿基米德所谓的破绽就是在尺上做了标记，等于是做了刻度，这在尺规做图法则中是不允许的。
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