在圆O中,弦CD垂直于直径AB于点E,弦DF平分BC交BC于点G,弦AF交OC于点H。则GH/AB的值是多少 要具体解答过程

发布网友 发布时间：2023-01-02 09:17

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热心网友 时间：2023-10-09 10:36

根据题意作示意图如下：

弦CD已知，另设圆O半径为R；

因G为BC弦的中点，所以G到弦CD的距离等于BE/2，G到直径AB的距离等于CE/2，而tg(∠CDG)=(BE/2)/(3CD/4)=BE/3CE；sin(∠CDG)=(BE/2)/DG=BE/2√[(3CE/4)^2+(BE/2)^2]；

tg(∠CAE)=CE/AE=CE/(2R-BE)=CE/(2R-BE)，cos(∠CAE)=AC/(2R)=√[(4R^2-2R*BE)]/(2R)；

tg(∠BAF)=tg(∠CAE-∠CAF)=tg(∠CAE-∠CDG)=[tg(∠CAE)-tg(∠CDG)]/[1+tg(∠CAE)*tg(∠CDG)]；

tg(∠BAF)={[CE/(2R-BE)]-(BE/3CE)}/{1+[CE/(2R-BE)]*(BE/3CE)}=(3CE^2+BE^2-2R*BE)/[6R*BE-3BE^2+CE*BE]＝(2CE^2)/(3BE^2+CE*BE)；

sin(∠BAF)=(2CE^2)/√[(2CE^2)^2+(3BE^2+CE*BE)^2]；

在三角形OAC中，CH:OH=△ACH面积:△AOH面积

=AC*sin(∠CAF):AO*sin(∠OAH)=AC*sin(∠CDG):AO*sin(∠BAF)

={(2R)/√[(4R^2-2R*BE)]}*{BE/2√[(3CE/4)^2+(BE/2)^2]}/{(2CE^2)/√[(2CE^2)^2+(3BE^2+CE*BE)^2]}

=

追答我还没弄完，觉得太麻烦了（原本想法是以弦CD和半径R表示G点和H点相对直径AB和弦CD的坐标位置），在想还有没有其它简便方法。我先将回答隐藏了的，怎么还能被看到？
前面一个三角函数推求有误……sin(∠CDG)=(BE/2)/DG=BE/√[(3CE)^2+BE^2]，相应CH:OH中也有误；

令BE/R=ξ，则(CE/R)^2=2ξ-ξ^2，BE/CE=ξ/√(2ξ-ξ^2)
CH:OH=(AC/AO)*sin(∠CDG)/sin(∠BAF)
={√[(4R^2-2R*BE)]}/(2R)*{BE/√[(3CE)^2+BE^2]}/{(2CE^2)/√[(2CE^2)^2+(3BE^2+CE*BE)^2]}
=[√(1-ξ/2)]*{1/√[9(2/ξ-1)+1]}*√{1+[9ξ^2+(3ξ√(2ξ-ξ^2))+(2-ξ)]/[4(2-ξ)^2]}
={√[(2ξ-ξ^2)/(9-4ξ)]/2}*√{1+[9ξ^2+(3ξ√(2ξ-ξ^2))+(2-ξ)]/[4(2-ξ)^2]}
好象再不好化简了，为表达简明，以k=CH:OH代之；
则H点到直径AB的距离=CE/(k+1)=R√(2ξ-ξ^2)/(k+1)，
点H到弦CD的距离=k(R-BE)/(k+1)=kR(1-ξ)/(k+1)；
G、H点至直径AB的距离差=R*[√(2ξ-ξ^2)]/(k+1)-√[(2ξ-ξ^2)]*R/2=R*√[(2ξ-ξ^2)]*[(1-k)/(k+1)]；
G、H点至弦CD的距离和=[k(1-ξ)/(k+1)]R+ξR/2；
按勾股定理求得：GH=R*√{(2ξ-ξ^2)*[(1-k)/(k+1)]^2+[k(1-ξ)/(k+1)+ξ/2]^2}；
除以直径2R可得到GH/AB比值，其值仅与弦CD在圆O内的位置有关；

可用电脑计算两种特殊情况予以检验：
当ξ=1（CD也是直径），k=0.2305，GH/(2R)=0.40034；
当ξ=1/2，k=0.1226，GH/(2R)=0.37113；
似乎比值不是固定，也不与弦长成比例。
此方法太笨，如有更好求法请贡献出来。

热心网友 时间：2023-10-09 10:36