等比数列求和怎么求?
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发布时间：2023-01-19 23:48
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时间：2023-11-04 23:56
用例题来理解等比数列。
先看看等比数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数（不为0），那么，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比。
来看下面这道题：
【例1】求1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024的和。
通过观察，会发现这个数列的后一项比上前一项都是2。
2÷1=2；
4÷2=2；
8÷4=2；
……
1024÷512=2。
所以这个题目就是典型的等比数列求和题，
公比是2。
例1中，如果拿笔硬算会十分麻烦，而且容易出错。
在这里G老师分享一个计算等比数列求和题目时经常用到的一个方法。
☞ 错位相减法
令A=1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024，
G老师让A这个式子再乘以数列的公比，
会得到什么呢？
2A=2+4+8+16+32+128+256+512+1024+2048，
这样我们构造出了一个新数列，
而且这个数列的和等于原数列乘以公比。
再将两个式子相减，
G老师纯手写
左边是2A-A=A；
右边是2048-1；
等式右边其余的项都已经抵消了。
这样我们就得出结果了，
1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024=2047
再来看看下面这道题
【例2】计算3+9+27+81+243+729+2187
分析：这题是等比数列求和，公比是3，共有7项。采用错位相减法，让等式乘以它的公比。
令A=3+9+27+81+243+729+2187；
则 3A=9+27+81+243+729+2187+6561；
两式相减，
3A-A=2A=6561-3
2A=6558
A=6558÷2=3279
所以，
3+9+27+81+243+729+2187=3279
总结一下，等比数列的一般规律。
等比数列中，
公比=后一项÷前一项；
末项的值=首项x公比的(n-1)次方（n代表项数）。
注意：公比的(n-1)次方=(n-1)个公比相乘
如【例2】中，末项是2187，首项是3，项数n=7。
2187=3x3^(7-1)
等比数列的和=(末项x公比-首项)÷(公比-1)
（由错位相减法得出）
