方阵的秩和特征值之间有什么联系吗
发布网友
发布时间：2023-05-16 18:25
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热心网友
时间：2024-12-02 05:24
为讨论方便，设A为m阶方阵。
证明：设方阵A的秩为n。
因为任何矩阵都可以通过一系列初等变换，变成形如：
1 0 … 0 … 0
0 1 … 0 … 0
…………………
0 0 … 1 … 0
0 0 … 0 … 0
…………………
0 0 … 0 … 0
的矩阵，称为矩阵的标准形（注：这不是二次型的对称矩阵提到的标准形）。
本题讨论的是方阵，就是可以通过一系列初等行变换的标准形为：
主对角线前若干个是1；其余的是若干个0。
以及除对角线以外的元素都是0。设A的标准形为B。
因为“m×m阶矩阵构成的数域P上的线性空间”与
“该线性空间上的全体线性变换在数域P上的线性空间”同构。
所以研究得到线性空间的性质可以照搬到线性变换空间上应用，
从同构的意义上说，他们是“无差别”的。
（由于线性变换符号的字体不能单独以花体字体区别，所以
用形如“线性变换A”，表示线性变换
用形如“矩阵A”，表示线性变换的矩阵）
