射影空间

发布网友发布时间：2023-05-13 21:57

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热心网友时间：2023-05-18 01:40

射影空间，可以说是非常难以理解的数学概念。欧式几何很初等，仿射几何包括了相似形，并不算困难，射影几何就显得很难理解了。

数学概念的理解，需要对应的实际事物的表示，缺乏这种表示，即使计算能力再强，也会感觉自己对其所知甚少。只有转化为实物，或者现象，才能直接把握住本质，不经计算而获得结果。其实，射影几何可以看作透视法，在透视法的世界中，直线总是相交的，绘画或者拍照片，多少会发现这种特性，消失在灭点，也就是无穷远点。不过，同样有很多直线不满足这种性质，平行于画面的直线，不能体现深度的直线就没有这种性质。所以，也不太一样。

射影空间和齐次坐标，这个还是挺有意思的，一般欧式空间中的点是唯一的，一组坐标对应一个点，但是，射影空间中，一个点对应无数个坐标，这些坐标相差一个数乘，也就是说射影空间的一个点对应普通空间的一条过原点的线，用专业术语，就是一个一维线性子空间。这个性质就导致了射影空间非常难理解，不知道怎么才能画出来射影空间中的图形，即使能够画出来，也看不懂。

但是，通过线性方程组的概念，可以把握住这种抽象的概念，这就是结构的迁移，将射影空间的几何结构与线性方程组的解的性质对应起来。一个点就是一个齐次线性方程的解集，这个齐次方程乘上一个常数不会变化其性质，于是，射影空间就变成了方程组解集的空间，这确实是让人想不到，在线性代数中学习的方程组的理论竟然联系着如此抽象的几何理论。

这个其实就是代数几何的思想，将线性方程组的代数性质与射影几何的几何性质联系在了一起。非常的奇妙，代数几何，可以说是显学，被人们推崇备至，不过，现在看来，还是存了很大的功利心的，这种联系性，相比于数学其他领域的联系性，并没有更加的特殊。

不过，这种思想确实很厉害，解代数方程，一直以来都是最困难的问题，也是中心问题，一个是高次方程，一个是多元方程，非常困难，群论就是起源于五次方程无根式解的问题，而椭圆曲线理论对应于二元三次和四次方程问题，这些问题的求解都发展出了广阔的研究领域。那么对于一般的多元高次代数方程的求解，需要的自然也是超越时代的思想。就像数论一般，这些问题是纯粹的未知，体现一种原始的美感。现在的很多数学问题是结构的未知，虽然答案暂时不知道，但是总是确信答案差不多就应该是这样子的，缺乏的只是试错的时间罢了，这样获得的喜悦就少了很多。而数论和解方程，一般而言，答案不可能知道，正常的使用所有的已知方法都不可能奏效，一个是按图索骥，另一个则是大海捞针，完成后的满足感截然不同。