三角形重心的性质是什么
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发布时间：2023-05-16 01:20
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时间：2024-07-29 02:10
三角形重心的性质如下：
三角形重心是三角形三条中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
性质证明
证明一
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。
求证：EG=1/2CG
证明：过E作EH∥BF交AC于H。
∵AE=BE，EH//BF
∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF
∴HF:CF=1/2
∵EH∥BF
∴EG:CG=HF:CF=1/2
∴EG=1/2CG
方法二 连接EF
利用三角形相似
求证：EG=1/2CG 即证明EF=1/2BC
利用中位线可证明EF=1/2BC
证明二
证明二
即EG=1/2CG
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明方法：
在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知：
OA'=1/3AA'
OB'=1/3BB'
OC'=1/3CC'
过O，A分别作a边上高OH'，AH
可知OH'=1/3AH
则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC
同理可证S△AOC=1/3S△ABC
S△AOB=1/3S△ABC
所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 （等边三角形）
证法一：
设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x0，y0） 则该点到三顶点距离平方和为：
(x1-x0)2+(y1-y0)2+(x2-x0)2+(y2-y0)2+(x3-x0)2+(y3-y0)2
=3x02-2x0(x1+x2+x3)+3y02-2y0(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32
=3[x0-1/3*(x1+x2+x3)]2+3[y0-1/3*(y1+y2+y3)]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2
显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时
上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2
最终得出结论。
证法二：由性质8（卡诺重心定理）可得出结论。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，
即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；
空间直角坐标系——X坐标：(X1+X2+X3)/3，Y坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，Z坐标：（Z1+Z2+Z3）/3.
图1
图1
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
证明：如图1所示，点P是△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，作点P到BC、AC、AB的垂线段，垂足分别为D、E、F，延长AP交BC于M。记△ABC的面积为S，BC为a，AC为b，AB为c，PD为a'，PE为b'，PF为c'。
∵aa'/2+bb'/2+cc'/2=S△BCP+S△ACP+S△ABP=S
∴aa'+bb'+cc'=2S
由均值不等式知，[(aa'+bb'+cc')/3]^3≥aa'bb'cc'=(abc)*(a'b'c')，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。
∴a'b'c'≤[(aa'+bb'+cc')/3]^3/(abc)=(2S/3)^3/(abc)=8S^3/(27abc)，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。
∴a'b'c'只有当aa'=bb'=cc'时才会取得最大值。
此时，S△ABP=cc'/2=bb'/2=S△ACP，由燕尾定理知，BM/CM=S△ABP/S△ACP=1。
∴此时BM=CM，M是BC的中点，AM是△ABC的中线，P在△ABC中BC边的中线上。
同理可证此时P在△ABC中AB、AC边的中线上。
∴当a'b'c'最大时，P是△ABC的重心，即重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。
7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）
8、卡诺重心定理：若G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2=1/3(a^2+b^2+c^2)+3PG^2
证明：GA^2 + PG^2 = PA^2 + 2GA*PGcos(AGP)
GB^2 + PG^2 = PB^2 + 2GB*PGcos(BGP)
GC^2 + PG^2 = PC^2 + 2GC*PGcos(CGP)
GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2PG[GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP)]
延长射线AG,交BC于D,继续延长,使得GD = DE = AG/2.
连接EB,EC,
四边形GBEC为平行四边形.
EB = GC
延长射线PG,
过点B作PG的延长线的垂线,垂足为F.
过点E作PG的延长线的垂线,垂足为H.
BE与PG的延长线的交点为点Q.
则,因GC//BE,角CGP = 角EQG = 角BQF
GH = GE*cos(EGH) = GA*cos(AGP)
HF = EB*cos(BQF) = GC*cos(EQG) = GC*cos(CGP)
而
GH + HF = GF = GB*cos(BGF) = GB*cos(PI-BGP) = -GB*cos(BGP),
因此,
GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP) = 0,
GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2
= PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2PG[GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP)]
= PA^2 + PB^2 + PC^2
利用上面的结论,
令P与A重合,有
GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GA^2
= AB^2 + AC^2 ...(1)
令P与B重合,有
GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GB^2
= AB^2 + BC^2 ...(2)
令P与C重合,有
GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GC^2
= BC^2 + AC^2 ...(3)
(1),(2),(3)相加,有
3[GA^2 + GB^2 + GC^2] + 3[GA^2 + GB^2 + GC^2] = 2[AB^2 + BC^2 + AC^2],
GA^2 + GB^2 + GC^2 = [AB^2 + BC^2 + AC^2]/3 = (a^2 + b^2 + c^2)/3.
得证.
