在数列{an},{bn}是各项均为正数的等比数列,
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发布时间：2023-05-07 22:55
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热心网友
时间：2024-12-01 19:50
a(n+1)/an=p
b(n+1)/bn=q
c(n+1)/cn=b(n+1)/a(n+1)*[an/bn]=q/p
所以数列｛cn｝是等比数列。
2.
lnan=lna1+（n-1）lnp
Sn=n*lna1+n(n-1)/2*lnp
Tn=n*lnb1+n(n-1)/2*lnq
Sn/Tn=[2ln2+(n-1)lnp]/[2lnb1+(n-1)lnq]
=[lnp*n+2ln2-lnp]/[lnq*n+2lnb1-lnq]
=n/(2n+1)
即：
2lnp*n^2+(4ln2-lnp)n+2ln2-lnp=lnq*n^2+(2lnb1-lnq)n
上式对所有n成立！！！所以：
2lnp=lnq,
4ln2-lnp=2lnb1-lnq,
2ln2-lnp=0
得出：p=4,
q=16,
b1=3
c1=3/2,
q/p=4.
{cn}前n项和=3/2*(1-4^n)/(-3)=(4^n-1)/2.
热心网友
时间：2024-12-01 19:51
（1）数列cn是等比数列，证明如下:
设an=a1*q^(n-1);bn=b1*p^(n-1);则cn=(b1/a1)*(p/q)^(n-1);即cn是以b1/a1为首项，以p/q为公比的等比数列；
（2）求cn的前n项和，则需要求出an的首项a1，公比q和bn的首项b1和公比p；
而易得到：
sn=ln(a1)+ln(a2)+……+ln(an)=ln(a1)+ln(a1)+lnq+……+ln(a1)+(n-1)lnq
=n*ln(a1)+[1+2+……+(n-1)]ln(q)
=n*ln2+n(n-1)/2*ln(q);
由sn/tn=n/(2n+1)得到，a1/b1=1/3;所以b1=8;
同理:
tn=n*ln8+n(n-1)/2*ln(p);
由sn/tn=n/(2n+1)得到：
[n*ln2+n(n-1)/2*ln(q)]/[n*ln8+n(n-1)/2*ln(p)]=n/(2n+1);
即就是：
[ln2+(n-1)/2*ln(q)]/[ln8+(n-1)/2*ln(p)]=n/(2n+1);
[ln2+(n-1)/2*ln(q)]*(2n+1)=[ln8+(n-1)/2*ln(p)]*n;
且由于ln8=3*ln2,
化简后得到：(2n+1)ln(q)=n*ln(p)+ln4
即就是：
ln[q^(2n+1)]=ln[4p^n]
所以：
[q^(2n+1)]/(4*p^n)=1;
即：
[q*q^(2n)]/(4*p^n)=1;
上式对所有n都成立，则有：
q=4;且q^2=p;
故，可得q=4,p=16;
那么可得到{cn}的首项c1=8/2=4,公比k=p/q=4;
所以cn的前n项和为：
4(4^n-1)/3
