隐函数存在定理

发布网友发布时间：2023-05-05 17:12

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热心网友时间：2023-10-08 17:48

隐函数存在定理是微积分学中的一个定理，描述了一种在一些条件下，能够找到一个隐函数的方法。其表述如下：

设 $F(x,y)=0$ 是一个含有未知量 $x$ 和 $y$ 的方程，其中 $F$ 是连续可微的函数。如果在点 $(a,b)$ 处有 $F(a,b)=0$ 且 $\frac{\partial F}{\partial y}(a,b)\neq 0$，则存在一个正整数 $k$，以及一个连续可微的函数 $f(x)$，使得在 $(a-\epsilon,a+\epsilon)$ 的一个邻域内，方程 $F(x,y)=0$ 等价于 $y=f(x)$，其中 $\epsilon>0$ 是一个小的正实数。

换句话说，如果 $F(x,y)=0$ 在 $(a,b)$ 处的导数 $\frac{\partial F}{\partial y}(a,b)$ 不为零，则可以通过解出 $y$，将 $F(x,y)=0$ 转化为等价的 $y=f(x)$ 的形式。这个函数 $f(x)$ 是在 $(a-\epsilon,a+\epsilon)$ 的一个邻域内连续可微的。