余元公式咋证明?
发布网友
发布时间：2023-05-11 13:27
共1个回答
热心网友
时间：2023-11-09 14:41
下面引入一个Gamma函数Γ(x)和Beta函数B(p,q)的关系
B(p,q)= Γ(q) *Γ(p)/ Γ(p+q)
Γ(q) *Γ(p)=∫(0,+∞) ∫(0,+∞) [(x^p-1)(y^q-1)(e^-(x+y))] dx dy
令x==uv y=u(1-v)
Γ(q) *Γ(p)= ∫(0,+∞) ∫(0,1) [(uv^p-1)(u(1-v)^q-1)(e^-u) u] dv
=∫(0,+∞) [u^(p+q-1)e^-u] ∫(0,1) [v^(p-1)*(1-v)^(q-1)]dv
=Γ(p+q)* B(p,q)
下面证明余元公式
对于任意p属于（0,1）
Γ(p) Γ(1-p)= Γ(1)* B(p,1-p)= B(p,1-p)
= ∫(0,1) [x^(p-1)*(1-x)^(-p)]dx
令t=1/（1-x）
Γ(p) Γ(1-p)= ∫(0,+∞) [t^(p-1)/(1+t)]dt
将t^(p-1)/(1+t)展开 可证明它是一致收敛的函数项级数 故积分号与极限可交换 因此
Γ(p) Γ(1-p)=Σ(n=0,+ ∞) [(-1)^n/(n+p)]
利用Fourier级数即可得到
对于任意p属于（0,1）
Γ(p) Γ(1-p)=π/sin (pπ)
关于Fourier级数的一些性质这里并没有列举 不过我相信你学过级数和多项式*近定理 Fourier级数这部分基本知识很容易掌握 如有问题 可以继续提问 我一般晚上十点半到十一点在线
