什么是合同矩阵
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发布时间：2023-05-02 23:27
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时间：2023-11-08 06:55
给定两个n×n矩阵A和B，如果存在可逆矩阵C，使得B＝C^T×A×郸，C^T是矩阵C的转置。称矩阵A和B合同。
问题二：矩阵相似与矩阵合同有什么区别 本质的区别就是矩攻相似，若当块不变（就是简单当成特征值不变）。
矩阵合同，保持特征值的符号（即正负号）不变。
问题三：求矩阵的合同矩阵 你可以先看一下这里关于矩阵合同的定义，
ke./view/1054690
首先两个矩阵如果合同的话，一定都是实对称的矩阵，
而选项C和D的矩阵都不是实对称的
然后两个合同的矩阵一定具有相同的特征值，
因此主对角线元素之和是相等的，
矩阵A主对角线元素之和为1+2=3，
选项A的主对角线元素之和为1+2=3，
选项B的主对角线元素之和为-1-2= -3，
因此与A合同的矩阵为选项A的矩阵
问题四：合同矩阵怎么找？ 1 对于任一实系数n元二次型X'AX，要化为标准型，实际上就是要找一个可逆变换X=CY，将它化为Y'BY的形式，其中B为对角阵。则C'AC=B,B就是A的一个合同矩阵了。
2 如果你想要的是将A经合同变换化为B时的变换矩阵C，常用的方法有3种，即配方法、初等变换法和正交变换法。
（1）配方法：如果二次型中含变量xi的平方项，则先将含xi的项集中，按xi配成完全平方，直至都配成平方项；如果二次型不含平方项，但某混合项系数aij不为0，可先通过xi=yi+yj，xj=yi-yj，xk=yk（k不是i或j）这一可逆变换使二次型中出现平方项后，按前一方法配方。
例，f=x1^2+x2^2+3x3^2+4x1x2+2x1x3+2x2x3=(x1^2+4x1x2+2x1x3)+x2^2+3x3^2+2x2x3
=(x1+2x2+x3)^2-3x2^2+2x3^2-2x2x3=……=（x1+2x2+x3)^2-3(x2+1/3*x3)^2+7/3*x3^2;
作变换y1=x1+2x2+x3,y2=x2+1/3*x3,y3=x3,就得标准型f=y1^2-3y2^2+7/3*y3^2.
将上述变换求出逆变换x1=y1-2y2-5础3*y3,x2=y2-1/3*y3,x3=y3,写成矩阵形式X=CY形式，其中C=（1，-2，-5/3；0，1，-1/3；0，0，1）（分号表示矩阵行结束）就是合同变换中的变换矩阵。
例，f=2x1x2-6x1x3,无平方项，则先作变换x1=y1+y2,x2=y1-y2,y3=x3,代入f中
f=2y1^2-2y2^2-6y1y3-6y2y3=2(y1-3/2*y3)^2-2(y2+3/2*y3)^2;
再作变换z1=y1-3/2*y3,z2=y2+3/2*y3,z3=y3用逆变换y1=z1+3/2*z3,y2=z2-3/2*z3,y3=z3,就能把f化成
f=2z1^2-2z2^2这种标准二次型。
最后将再次用的变换写成矩阵形式，X=C1*Y,Y=C2*Z的形式，X=C1*C2*Z,则C=C1*C2就是所求（具体计算略）。
（2）初等变换法：
将二次型的矩阵A与同阶单位阵I合并成n_2n的矩阵（A|I），在这个矩阵中作初等行变换并对子块A再作同样的初等列变换，当将A化为对角阵时，子块I将会变为C’。
（3）正交变换法：
先写出二次型f的tdbl，它是实对称矩阵，求出全部特征值λi（i=1，2，……，n）；再对每一特征值写出它所对应的单位特征向量（特征值相同的不同特征向量注意正交化）；把上述单位正交特征向量作为矩阵的列构造正交矩阵T，那么正交变换X=TY将会把二次型X'AX化为标准形f=λ1*y1^2+λ2*y2^2+……+λn*yn^2
问题五：关于合同矩阵。 (1)合同矩阵在几何上的意义是什么？
(1-)如果我理解为“几何意义上的镜像或者对称”，正确吗？
(1)谁能给讲一下此处“合同”是什么意思？
答：
(0)定*读：
在线性代数(esp二次型理论)中，称矩阵A和B合同(当且仅当)存在非退化矩阵P，使得
A=P'BP
对于二次型的矩阵表示来说，做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。
注意，P非退化,即det(P)或记作|P|0,或P可逆或P非奇异,各种说法是等价的.
这里P'指P的转置,即绕主对角线镜像
(1)几何上的合同,就包括了这里的种种对称变换,或者说等价性变换,包括平移,旋转,镜像(反射).
总之,合同变换后,对应的线段长与夹角均不变.
(1-)注意,包括平移变换.
外则:
AAA:镜像是对称性的一种,平移与旋转也是对称性,或者说在某种变换下是等价的==自射,互射,传递
BBB其实,相似性也可以称作上是一种不变性.将对称性推广,不妨命名为反龚例对称.
即:在一个比率或者倒数作用下相互转化. 保持角度不变,而距离发生了整体性的比率变化.
问题六：合同矩阵需要是实对称的么？ 你给的例子是合同的，如果这两个矩阵分别记成A和B，取C=
1 0 0
0 1 0
0 -1 1
那么A=CBC^T
但是一般来讲非对称矩阵合同关系是很复杂的，特征值的信息不足以确定是否合同
问题七：相似矩阵和合同矩阵 矩阵A,B相似是指存在可逆矩阵P,使得B=P^(-1)AP
而矩阵的合同则是指存在可逆矩阵P，使得B=PTAP。
当然矩阵相似不一定是合同的了。
