某微分方程解

发布网友发布时间：2023-05-02 18:12

共2个回答

热心网友时间：2023-11-07 14:28

很简单
解答如下
解：xy'+y=x^2+2化为(x^2-y+2)dx-xdy=0
可以令m(x,y)=x^2-y+2,n(x,y)=-x
m(x,y)关于y的偏导是-1,n(x,y)关于x的偏导是-1，则该微分方程是恰当方程
令初始条件y。=y(x。)
得到(x,x。)∫(x^2-y+2)dx-(y,y。)∫x。dy=0
从而得到
通积分x^3/3-yx+2x=c（c为常数）
这里说明的是，计算到通积分即可，通积分是通解的隐函数表达形式。
也可以写成通解的形式，但会遇到x是否为零的讨论，所以还是写成通积分的形式较为简单。

热心网友时间：2023-11-07 14:28

这是可降阶的二阶微分方程，没有出现自变量x，所以以y为自变量进行降阶
令(y')^2＝P(y)，则y''＝1/2×dP/dy，方程化为1/2×dP/dy＋P＝y，即dP/dy＋2P＝2y，此为一阶非齐次线性微分方程，套用通解公式得P＝Ce^(-2y)＋y－1/2
接下来的计算是y'＝±√〔Ce^(-2y)＋y－1/2〕，不可解，除非有初始条件