直线与圆的最值问题解题策略_中考试题中最值问题的解题策略
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发布时间：2023-04-29 22:41
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时间：2023-10-27 11:09
一、 利用作对称点的方法求最值
（一） 作对称点求三角形周长的最值
例1 （2011年?河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，E是AB边的中点，F是AC边的中点，D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是 ．
分析 1． 此题是由“在直线上作一点使其到直线外两点的距离之和最短”问题拓展而来，如图（3），先作出A点关于直线MN对称的点C，连接BC，交 MN于P点，则交点就是所求的P点.证明时可在直线MN上任取一点不同于P点的点E，连接BE、CE，由两点之间线段最短得出BE+CE＞BC，可证得EB+EA＞PA+PB，所以PA+PB最短.
2．此题中△EFD中位线EF长度为定值1，若让△EFD的周长最小，则应让DE+DF的值最小，如图（2），作F点关于BC对称的点G，连接EG，交BC与D点，此时DE+DF的值最小.根据Rt△ABC中条件可得AB=4，AC=GF= 2， EG=DE+DF=，所以△EFD的周长最小值为+1．
（二） 作对称点，再利用相似等知识求线段之和的最值
例2 （2011年?山东）如图，抛物线y＝x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（－1，0）．
（1） 求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2） 判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3） 点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．
解析 （1） 将A（－1，0）代入抛物线解析式得y＝x2－x－2，再将函数解析式配成顶点式，得抛物线顶点D的坐标为（，）．
（2） 利用勾股定理求出AC、BC的长，得AC2+BC2=AB2，所以△ABC是直角三角形．?摇
（3）由例1得，作出点C关于x轴的对称点C′，连接C′D，交x轴于点M，可得MC+MD的值最小.设抛物线的对称轴交x轴于点E．可证△C′OM∽△DEM，求出OM=，可得m=的值.（也可利用待定系数法求出直线C′D的解析式为y=-x+2，再求出直线C′D与x轴于交点M的坐标， 即可求出m=）
注：解决这类习题时，要分清作哪一个点关于哪条直线的对称点，并完成对称点的作图.一般利用勾股定理或相似求出每条线段的长度，也常利用待定系数法求过两点（其中一点和另一点的对称点）的直线解析式，再求解即可.
二、 利用勾股定理建立方程模型求重叠部分面积的最值
例3 （2011年?山东）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK.
（1） 若∠1=70°，求∠MKN的度数；
（2） △MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；
（3） 如何折叠能够使△MNK的面积最大？求最大值.
解析 1．由已知可证∠KNM=∠KMN=70°，所以∠MKN=40°； 2． 如图（1）过M作ME⊥DN，由1中的∠KNM=∠KMN得KM=KN，因为斜边KM大于直角边ME,得KM=KN＞1,所以S =KN×1＞，所以△MNK的面积不能小于； 3． △MNK是折叠的两个图形的重合部分，要使△MNK的面积最大，就应让两部分最大重合，故分两种情况：情况一、如图（2），将矩形纸片对折，使点B和D点重合，此时点K也和D点重合.设MK=MD=x，在△AMK中由勾股定理建立方程：x2=（5-x）2+12，得x=2.6，得MD=ND=2.6,此时△MNK面积的最大值为1.3；情况二、如图（3），将矩形纸片沿对角线对折，折痕MN和对角线AC重合.设AK=MK=KC=KN=y，在△ADK中由勾股定理建立方程，y2=（5-y）2+12，得y=2.6，可求出MK=KN=2.6,此时△MNK面积的最大值也为1.3.
注：解决这类习题时，要确定重叠部分的面积最大情况，画出图形，根据已知条件利用勾股定理、相似或函数的等知识给予解决.
三、 利用函数模型求最值
（一） 利用函数模型，求利润方面的最值
例4 （2011年?江苏） 张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y（元/吨）与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）．
（1） 求y与x之间的函数关系式；
（2） 已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润W最大？最大利润是多少?
解析 （1） ① y=8000（0＜x≤20）
② 设直线BC的解析式，将B、C两点坐标代入，得直线BC的解析式为y=-200x+12000（20≤x≤40）
（2） 老王所获利润是每吨利润与卖出吨数的乘积，① 当0＜x≤20时，W最大=（8000-2800）×20=104000；② 当20≤x≤40时，W=（-200x+12000-2800）x =-200（x-23）2+105800，所以当采购23吨时，老王所获利润最大为105800元.
（二） 利用函数模型求线段的最值
例5 （2011年?山东） 如图，抛物线y=ax2＋bx＋c交x轴于点A（－3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，－3）.点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行，直线y=－x＋m过点C，交y轴于D点.
（1） 求抛物线的函数表达式；
（2） 点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；
