什么是抛物线?
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发布时间:2022-04-23 21:27
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时间:2022-05-01 13:43
抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹。他有许多表示方法,比如参数表示,标准方程表示等等。
它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种,即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下,也可看成二次函数图像。
定义
平面内,到一个定点F和不过F的一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。另外
,
F
称为"抛物线的焦点",
l
称为"抛物线的准线"。
定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示p>0.
以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥,可得一个圆,如果倾斜这个平面直至与其一边平行,就可以做一条抛物线。
编辑本段标准方程
抛物线的标准方程有四个:
抛物线
右开口抛物线:y^2=2px
左开口抛物线:y^2=—2px
上开口抛物线:x^2=2py
下开口抛物线:x^2=—2py
p为焦准距(p>0)
在抛物线y^2=2px中,焦点是(p/2,0),准线l的方程是x=—p/2;
在抛物线y^2=—2px
中,焦点是(—p/2,0),准线l的方程是x=p/2;
在抛物线x^2=2py
中,焦点是(0,p/2),准线l的方程是y=—p/2;
在抛物线x^2=—2py中,焦点是(0,—p/2),准线l的方程是y=p/2;
编辑本段相关参数
(对于向右开口的抛物线)
离心率:e=1
焦点:(p/2,0)
准线方程l:x=-p/2
顶点:(0,0)
通径:2P
;定义:圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦
定义域(X≥0)
值域(Y∈R)
编辑本段解析式求法
以焦点在X轴上为例
知道P(x0,y0)
令所求为y^2=2px
则有y0^2=2px0
∴2p=y0^2/x0
∴抛物线为y^2=(y0^2/x0)x
编辑本段光学性质
经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴。
编辑本段面积和弧长公式
抛物线
面积
Area=2ab/3
弧长
Arc
length
ABC
=√(b^2+16a^2
)/2+b^2/8a
ln((4a+√(b^2+16a^2
))/b)
编辑本段其他
抛物线:y
=
ax^2
+
bx
+
c
(a≠0)
就是y等于ax
的平方加上
bx再加上
c
a
>
0时开口向上
a
<
0时开口向下
c
=
0时抛物线经过原点
b
=
0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y
=
a(x-h)^2
+
k
就是y等于a乘以(x-h)的平方+k
h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
标准形式的抛物线在x0,y0点的切线就是
:yy0=p(x+x0)
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程:y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0)
准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px
y^2=-2px
x^2=2py
x^2=-2py
编辑本段对称性解题
我们知道,抛物线y
=
ax^2
+
bx
+
c
(
a
≠0
)是轴对称图形,它的对称轴是直线x
=
-
b/
2a
,它的顶点在对称轴上。解决有关抛物线的问题时,若能巧用抛物线的对称性,则常可以给出简捷的解法。
例1
已知抛物线的对称轴是x
=1,抛物线与y轴交于点(0,3),与x轴两交点间的距离为4,求此抛物线的解析式。
分析
设抛物线的解析式为y
=
ax^2
+
bx
+
c
。若按常规解法,则需要解关于a、b、c的三元一次方程组,变形过程比较繁杂;若巧用抛物线的对称性,解法就简捷了。因为抛物线的对称轴为x
=1,与x轴两交点间的距离为4,由抛物线的对称性可知,它与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点。于是可设抛物线的解析式为y
=
a(x+1)(x-3)。又因为抛物线与y轴交于点(0,3),所以3
=
-3a。故a
=-1。
∴y
=
-(x+1)(x-3),即
y
=
-
x^2
+
2x
+3。
例2
已知抛物线经过A(-1,2)、B(3,2)两点,其顶点的纵坐标为6,求当x
=0时y的值。
分析
要求当x
=0时y的值,只要求出抛物线的解析式即可。
由抛物线的对称性可知,A(-1,2)、B(3,2)两点是抛物线上的对称点。由此可知,抛物线的对称轴是x
=
1。故抛物线的顶点是(1,6)。于是可设抛物线的解析式为y
=
a(x-1)2+
6。因为点(-1,2)在抛物线上,所以4a
+
6
=
2。故a
=
-1。
∴y
=
-(x-1)^2+
6,即
y
=
-
x^2
+
2x
+5。
∴当x
=0时,y
=
5。
例3
已知抛物线与x轴两交点A、B间的距离为4,与y轴交于点C,其顶点为(-1,4),求△ABC的面积。
分析
要求△ABC的面积,只要求出点C的坐标即可。为此,需求出抛物线的解析式。由题设可知,抛物线的对称轴是x
=
-1。由抛物线的对称性可知,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(1,0)。故可设抛物线的解析式为y
=
a(x+1)^2+
4[或y
=
a(x+3)(x-1)]。
∵点(1,0)在抛物线上,
∴4a
+
4
=
0。∴a
=
-1。
∴y
=
-(x+1)2+
4,即
y
=
-
x2
-
2x
+3。
∴点C的坐标为(0,3)。
∴S△ABC
=
1/2×(4×3)=
6。
例4
已知抛物线y
=
ax2
+
bx
+
c的顶点A的纵坐标是4,与y轴交于点B,与x轴交于C、D两点,且-1和3是方程ax2
+
bx
+
c
=0的两个根,求四边形ABCD的面积。
分析
要求四边形ABCD的面积,求出A、B两点的坐标即可。为此,要求出抛物线的解析式。由题设可知,C、D两点的坐标分别为(-1,0)、(3,0)。由抛物线的对称性可知,抛物线的对称轴是x
=
1。故顶点A的坐标是(1,4)。从而可设抛物线的解析式为y
=
a(x-1)2+
4[或y
=
a(x+1)(x-3)]。
∵点(-1,0)在抛物线上,
∴4a
+
4
=
0。故a
=
-1。
∴y
=
-(x-1)^2+
4,即
y
=
-
x^2
+
2x
+3。
∴点B的坐标为(0,3)。
连结OA
,则S四边形ABCD
=
S△BOC
+
S△AOB
+
S△AOD
=
1/2×1×3+1/2×3×1+1/2×3×4=9
编辑本段相关结论
过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2),有
①
x1*x2
=
p^2/4
,
y1*y2
=
—P^2
②
焦点弦长:|AB|
=
x1+x2+P
=
2P/[(sinθ)^2]
③
(1/|FA|)+(1/|FB|)=
2/P
④若OA垂直OB则AB过定点M(2P,0)
⑤焦半径:|FP|=x+p/2
(抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离)
⑥弦长公式:AB=√(1+k^2)*│x2-x1│
⑦△=b^2-4ac
⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根
⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根
⑶△=b^2-4ac<0没实数根
⑧由抛物线焦点到其切线的垂线,是焦点到切点的距离,与到顶点距离的比例中项。
编辑本段定*题
例:已知F是抛物线y^2=4x的焦点,A(3,2)是一个定点,P是抛物线上的动点,求|PA|+|PF|的最小值和此时P的坐标。
解:设抛物线的准线为L,过P作PH⊥L,垂足为H,再过A点作AH’⊥L,垂足为H’,并交抛物线于P’。连结P’F。则:
|PA|+|PF|=|PA|+|PH|≥|AH’|=|P’A|+|P’H|=|P’A|+|P’F|
所以,|PA|+|PF|的最小值是|AH’|,而准线方程x=-1
故|PA|+|PF|的最小值是4,此时,P’的坐标是(1,2)
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时间:2022-05-01 15:01
平面内,到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点,定直线叫抛物线的准线。
抛物线是指平面内到一个定点F(焦点)和一条定直线l(准线)距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法,例如参数表示,标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种,即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下,也可看成二次函数图像。
热心网友
时间:2022-05-01 16:36
抛物线的定义
平面内,到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点,定直线叫抛物线的准线。通俗点来说,你投篮的时候,篮球走过的路径就叫抛物线。
抛物线的特点
一个最高点
镜像对称
对称的点速度相同
表达式
y=ax^2+bx+c
热心网友
时间:2022-05-01 18:27
平面内,到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
热心网友
时间:2022-05-01 20:35
把某个物体扔出去所形成的一条线叫抛物线
抛物线是什么 抛物线的解释
1、抛物线【pāo wù xiàn 】平面内,到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点,定直线叫抛物线的准线。2、抛物线是指平面内到一个定点F(焦点)和一条定直线l(准线)距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法,例如参数表示,标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重...
抛物线是什么意思?
抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹。这一定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线。抛物线是一种圆锥曲线。满意请采纳。
什么是抛物线?
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什么是抛物线?
定义:平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,直线L叫做抛物线的准线.其标准方程为:x^2=2py (P>0)因为抛出物体后的轨迹曲线方程总可写为y=ax^2+bx+c形式(物理知识:上抛运动,斜抛运动,平抛运动均可写为如上形式),故称抛物线 ...
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什么是抛物线 为什么叫做抛物线
定义:平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,直线L叫做抛物线的准线.其标准方程为:x^2=2py (P>0)因为抛出物体后的轨迹曲线方程总可写为y=ax^2+bx+c形式(物理知识:上抛运动,斜抛运动,平抛运动均可写为如上形式),故称抛物线 ...
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请问抛物线是什么?
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