一个点在定直线上是什么意思?
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发布时间：2023-05-03 22:28
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时间：2023-10-22 20:58
《几何原本》很有趣，但是我并没有能读完它（几乎可以说是没读几页），我觉得你想要的答案一定会在书里。
注:不严谨，个人观点占多数，希望能在业余方面提供参考思路，很抱歉不能提供专业解释
我们知道, 一般而言, 定义一个概念A是通过 "称满足性质P（的某类）对象为A" 来实现的.
然而这样的思路在定义点线面的时候出现了问题. 毕竟, 给你一个点/线/面, 你并不能拿它直接来做什么. 一个点/线/面单独摆在那里, 它其实什么也不是. 坚持这个思路所得到的只能是类似 "点是没有长度的" / "直线是沿着同一个方向可以无限延伸的只有长度的对象" 或者 "直线是点沿着同一个方向运动形成的轨迹" 这样纯粹修辞意义上的描述.
这时你会感觉有点奇怪: 可是这不对呀! 如果点/线/面什么也不是, 那我们在几何学中是在做什么呢? 几何学命题当然不是什么纯粹修辞意义上的结果. 仔细回顾一下, 我们在几何学中的命题, 讨论的其实是点/线/面之间的关系. 比如我们在推理中需要要求
过不同的两点, 有且仅有一条直线.
或者要求
过直线外一点, 有且仅有一条直线与已知直线平行.
我们的推理都是通过这些所谓的公理得以推进的. 这些公理描述的其实都是点/线/面之间的关系. 那么一个可以考虑的方案就是, 通过规定点/线/面之间的关系来确定 "点/线/面" 代表的是什么. 换言之, 通过 "称相互关系R(A, B), R(B, C), R(C, A) 满足性质P（的某类）对象为A, B, C" 实现定义. 可以看到这其实无非是最初的方案的一种推广.
我们现在需要描述点/线/面之间的关系, 诸如 "点在直线上" / "两条直线交于一点". 这时几何学的公理告诉我们这些关系满足什么性质, 诸如 "过不同的两点, 有且仅有一条直线" 等等. 于是我们可以通过类似如下的方式一次性打包定义出点/线/面以及它们之间的关系:
几何学系统由如下部分构成: 对象为A, B, C, 关系为R(A, B), R(B, C), R(C, A), 使得这些关系满足一系列公理P1, P2, ..., Pn.
在几何学中, 这个框架实现为了Hilbert几何学公理系统: 希尔伯特公理_百度百科 , Hilbert's axioms.
当然, 有了这样的定义之后, 还要验证这个定义是良好的, 即公理之间的相容性等等（以保证公理之间不会相互矛盾）. 这一系列内容均可参见Hilbert, The Foundations of Geometry（有中译本, 希尔伯特几何基础）.
这时可能很多读者还会有很大的困惑: 你说了这么多, 还是没有告诉我, 点/线/面到底是什么呀!
这是一个很常见的问题. 而且我的确无法告诉你, 点/线/面 "到底是什么". 一个原因在于, 在下定义的时候, 你一层一层往回追溯, 总有一些原始概念难以通过直接告诉你它 "是什么" 来实现. 我们在数学上的处理就是, 告诉你这些概念之间的关系是怎样的. 有了概念之间的关系就可以完成推理. 本质上说, 对象本身 "是什么" 其实不那么重要, 重要的是他们之间的关系. 对于数学家而言, 你把 "空气" / "土地" / "水" 作为 "点" / "线" / "面" 也并没有什么问题（大概）, 只要推理规则不变, 数学大厦本身就没有什么影响.
当然, 关于数学基础的问题, 并非所有人都支持形式主义, 也有人在数学基础的问题上提出了直觉主义等等之类的观点. 不过这也许就不是一个数学问题（而是数学哲学问题）了, 我选择不在这一问题上发言.
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时间：2023-10-22 20:58
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时间：2023-10-22 20:59
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时间：2023-10-22 21:00
