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设A为n阶方阵,Ax=0有非零解,则A必有一个特征值?

发布网友 发布时间:2023-04-22 03:56

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3个回答

热心网友 时间:2023-10-17 16:02

必有一个特征值为零
Ax=0有非零解
表明A的秩<n,从而作为A的唯一的一个n阶子式,即行列式detA=0
行列式的数值等于方阵的全体特征值的乘积,从而A必有一个特征值=0

热心网友 时间:2023-10-17 16:02

不一定。反例:$\\begin{pmatrix}0\u00261\\\\0\u00260\\end{pmatrix}$ 是 $2$ 阶方阵,它的特征值为 $0$,但是 $Ax=0$ 的非零解为 $\\begin{pmatrix}1\\\\0\\end{pmatrix}$,所以它并没有特征值。

热心网友 时间:2023-10-17 16:02

错误。若A为n阶方阵,Ax=0有非零解,则A不一定有特征值,例如零矩阵就没有特征值。反例:考虑3阶零矩阵A=[0],则Ax=0的非零解x=[1,0,0],但A没有特征值。
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