分析学的历史发展
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发布时间：2023-04-25 22:49
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时间：2023-10-16 23:39
20世纪初年以前，一般将全部数学分为三大基本分支：分析学、几何学和代数学。当然，对于现代数学，已难于做如此的概括。象微分方程和概率论等学科，它们的创立都与分析密切相关，但由于它们各有独特的研究对象，从而发展了各自的庞大系统，不能继续将它们归属于分析学。一般而论，现代分析可分为实分析、复分析和包括泛函分析在内的抽象分析三大部分，它的研究对象已不限于函数，研究方法也日益综合。
分析这个学科名称，大约是由牛顿（Newton）最早引入数学的，因当时微积分被看做代数的扩张，“无穷”的代数，而“分析”与“代数”同义。今天它所指虽然更广，但仍然只是对所含学科方法上共同特点的概括，而且愈来愈不容易与几何、代数的方法完全分清了。
分析学中最古老和最基本的部分是数学分析。它是在17世纪为了解决当时生产和科学提出的问题，经过许多数学家的努力，最终由牛顿和莱布尼茨（Leibniz）创立的。但是为分析建立严格逻辑基础的工作却迟至19世纪方才完成。此后，数学分析才成为一个完整的数学学科。数学分析是最早系统研究函数的学科，它所研究的虽说基本上只是一类性质相当好的函数——区间上的连续函数，但无论在理论上或应用方面至今都有重要意义。在理论方面，数学分析是分析学科的共同基础，也是它们的发源地。现代分析的诸多分支中，有一些在其发展初期曾经是数学分析的一部分（例如变分法、傅里叶分析以至复变函数论等），而另一些则是在数学分析的完整体系建立以后，由于各种需要，在对数学分析中的某些问题的深入研究和拓广之中发展起来的，像实变函数论、泛函分析和流形上的分析就属于这种情况。
19世纪末到20世纪初，由于某些数学分支（例如傅里叶分析）和物理等学科发展的需要，不但促使数学分析中函数可积的概念逐步明确，还进一步要求将积分推广到更广的函数类上去，希望积分运算更加灵活方便。同时，在对数学分析中各个基本概念之间的关系的继续探讨中（例如，微分和积分互为逆运算在一般意义上是否成立），人们也感到必须突破数学分析的*。
在这方面，20世纪初，由勒贝格（Lebesgue）提出的积分理论有重大意义，而实变函数论的中心内容就是勒贝格积分的理论。作为黎曼积分的推广，勒贝格积分不仅可积函数类广，还具有可数可加性等良好性质，积分号下求极限的条件也较宽松，它的理论已经发展得充分完备，因而更适合数学各分支及物理的需要。由于勒贝格可积函数的空间（函数类）的完备性，使它在数学理论上占据黎曼积分所不可能有的重要地位。实变函数论同数学分析一样，也研究函数的连续性、可微性、可积性这些基本性态，但由于应用了集合论的方法，使它有可能研究一般点集上的函数，从而研究的结果比数学分析更广、更完善。因此，实变函数论也成为分析学各分支（特别是泛函分析等近代分支）的共同基础之一。在关于微分和积分是否互为逆运算的问题上，勒贝格积分的结果就比黎曼积分情形进了一步。但是，为了彻底解决这个问题，后来又有人提出过多种更广的积分理论，例如，当儒瓦积分和佩龙积分，最后由广义当儒瓦积分（1916年）对前述问题作了肯定的回答。然而，这些积分除了在特定的理论问题上有重要意义外，远不如勒贝格积分普遍适用。勒贝格积分是建立在勒贝格测度的基础之上的，后者向抽象方面进一步发展，又促使对于测度的系统研究形成独立的学科，这就是测度论。测度是面积、体积概念的推广，它和积分概念始终紧密相联，测度论的思想和理论在现代分析中是十分重要和很有用的。
