如图所示 这是一个不规则球体的剖面图，现在需要求其表面面积，希望高手解答。
发布网友
发布时间：2023-04-27 09:59
共1个回答
热心网友
时间：2023-10-22 19:04
楼主这道题不是一般的难，看你这道题看了三天了
如果我没理解错的话，你这个剖面应该是左右对称的，而你的球体也是这个剖面以其对称轴为轴旋转而成的，其表面积就等于上下两个圆的面积与侧面圆弧旋转曲面的面积之和
求这个表面积应该有两种方法，第一种为积分法，第二种为形心法。
第一种方法：积分法，基本思路为先求任意高度的横截面上的曲线周长，再以这个周长对高度积分，类似于A=∫2πxdy的形式，即可求得圆弧旋转所得侧面积，再加上上下两个圆面积即可。此法的关键在于要先求得圆弧所对应的圆的方程，以获得积分内x的表达式。这种方法是我刚刚想到的，后面的细节还未完全想透，可能会遇上不可预知的困难，暂不采用。
第二种方法：形心法，基本思路为先求剖面图以对称轴为界的半边曲线的形心横坐标p，再以古鲁金定理I求表面积，S=2πpL，其中p为形心到转轴的距离，L为旋转曲线的弧长
这里又有两个小思路，第一个是求整个旋转曲线OABCD的形心p，再直接套用公式S=2πpL即可；第二个是单求出弧AB的形心c3，和其表面积，再加上上下底的面积即可
似乎第二个思路稍微简单一点，就用第二个吧。好了，不罗嗦了，开始解题。
如图，用长虚线将对称轴右半边分成三块，一个矩形，一个三角形，一个弓形
设OA=CD=a, BC=b, AB=c, AC=OD=h;
设弧AB所对圆心为P，圆心角为2α，半径为R，弧长AB=L
设P到OD的距离为d1，P到AB的距离为d2
a, a+b, R, L 为已知，易求 b=(a+b)-a, 2α=L/R, α=L/(2R)
d2=Rcosα，d1=Rcos(α+β)-a=R(cosαcosβ-sinαsinβ)-a，c=2Rsinα
h=√(c^2-b^2)，cosβ=h/c，sinβ=b/c
因为你给的角不是特殊角，所以上面的变量要用计算器算出近似值来
下面用负面积法求弓形AB的形心x3（或重心）
A1=S△PAB=-1/2*c*d2，形心x1=2/3*d2*cosβ-d1
A2=S扇形PAB=αR^2，形心x2=2Rsinα/(3α)*cosβ-d1 (查形心公式表)
∴弓形形心x3=∑xiAi/A=(x1A1+x2A2)/(A1+A2)
∴由弧AB旋转所得的侧面积为S3=2πx3*L
上底面积为S2=π(a+b)^2，下底面积为S1=πa^2
∴总表面积为S=S1+S2+S3
经过一番计算，可得
b=624，α=0.518，cosα=0.869，sinα=0.495，d2=2302，c=2624，h=2549
cosβ=0.971，sinβ=0.238，cos(α+β)=0.726，d1=779；
A1=-3020224，x1=711；A2=3637655，x2=861；x3=1595；
S3=27509513，S2=9831177，S1=4118706；
S=41459396
∴总表面积为 41459396
（因取近似值不同，不同的人算可能后几位有所不同）
追问由弧AB旋转所得的侧面积为S3=2πx3*L中这个x是指的那个地方长度，L又是指的哪个地方。追答L为弧AB的长度，x3为弓形AB（即扇形PAB扣除△PAB后剩余的部分）的形心（或重心）横坐标，即代表弓形AB重心的那一点到中心对称轴OD的距离
热心网友
时间：2023-10-22 19:04
楼主这道题不是一般的难，看你这道题看了三天了
如果我没理解错的话，你这个剖面应该是左右对称的，而你的球体也是这个剖面以其对称轴为轴旋转而成的，其表面积就等于上下两个圆的面积与侧面圆弧旋转曲面的面积之和
求这个表面积应该有两种方法，第一种为积分法，第二种为形心法。
第一种方法：积分法，基本思路为先求任意高度的横截面上的曲线周长，再以这个周长对高度积分，类似于A=∫2πxdy的形式，即可求得圆弧旋转所得侧面积，再加上上下两个圆面积即可。此法的关键在于要先求得圆弧所对应的圆的方程，以获得积分内x的表达式。这种方法是我刚刚想到的，后面的细节还未完全想透，可能会遇上不可预知的困难，暂不采用。
第二种方法：形心法，基本思路为先求剖面图以对称轴为界的半边曲线的形心横坐标p，再以古鲁金定理I求表面积，S=2πpL，其中p为形心到转轴的距离，L为旋转曲线的弧长
这里又有两个小思路，第一个是求整个旋转曲线OABCD的形心p，再直接套用公式S=2πpL即可；第二个是单求出弧AB的形心c3，和其表面积，再加上上下底的面积即可
似乎第二个思路稍微简单一点，就用第二个吧。好了，不罗嗦了，开始解题。
如图，用长虚线将对称轴右半边分成三块，一个矩形，一个三角形，一个弓形
设OA=CD=a, BC=b, AB=c, AC=OD=h;
设弧AB所对圆心为P，圆心角为2α，半径为R，弧长AB=L
设P到OD的距离为d1，P到AB的距离为d2
a, a+b, R, L 为已知，易求 b=(a+b)-a, 2α=L/R, α=L/(2R)
d2=Rcosα，d1=Rcos(α+β)-a=R(cosαcosβ-sinαsinβ)-a，c=2Rsinα
h=√(c^2-b^2)，cosβ=h/c，sinβ=b/c
因为你给的角不是特殊角，所以上面的变量要用计算器算出近似值来
下面用负面积法求弓形AB的形心x3（或重心）
A1=S△PAB=-1/2*c*d2，形心x1=2/3*d2*cosβ-d1
A2=S扇形PAB=αR^2，形心x2=2Rsinα/(3α)*cosβ-d1 (查形心公式表)
∴弓形形心x3=∑xiAi/A=(x1A1+x2A2)/(A1+A2)
∴由弧AB旋转所得的侧面积为S3=2πx3*L
上底面积为S2=π(a+b)^2，下底面积为S1=πa^2
∴总表面积为S=S1+S2+S3
经过一番计算，可得
b=624，α=0.518，cosα=0.869，sinα=0.495，d2=2302，c=2624，h=2549
cosβ=0.971，sinβ=0.238，cos(α+β)=0.726，d1=779；
A1=-3020224，x1=711；A2=3637655，x2=861；x3=1595；
S3=27509513，S2=9831177，S1=4118706；
S=41459396
∴总表面积为 41459396
（因取近似值不同，不同的人算可能后几位有所不同）
追问由弧AB旋转所得的侧面积为S3=2πx3*L中这个x是指的那个地方长度，L又是指的哪个地方。追答L为弧AB的长度，x3为弓形AB（即扇形PAB扣除△PAB后剩余的部分）的形心（或重心）横坐标，即代表弓形AB重心的那一点到中心对称轴OD的距离
