如何用斯特瓦尔特定理证明托勒密定理

发布网友发布时间：2022-04-22 18:18

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托勒密定理证明过程如下：

设四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，O为四边形的内心，r为内接圆的半径。则由内切圆的性质可以得到AO=CO=r和BO=DO=r。

通过勾股定理可以得到AB²=AO²+BO²，CD²=CO²+DO²。将AO=CO=r和BO=DO=r代入上式得到：AB²=2r²，CD²=2r²。将两个式子相加得到：AB²+CD²=4r²即：AC²+BD²=4r²。因此，当对角线互相垂直时，四边形ABCD是可以内接圆的。证毕。

托勒密定理介绍如下：

托勒密定理（Ptolemy's theorem）指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

定理表述：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质。

托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD。