详细讲解两角和与差的正弦余弦和正切公式
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发布时间：2022-04-22 15:30
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时间：2023-09-15 12:34
指高中数学三角函数部分的一组恒等式
sin
α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sin
α-sin
β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cos
α+cos
β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cos
α-cos
β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
【注意右式前的负号】
以上四组公式可以由积化和差公式推导得到
证明过程
法1 sin
α+sin
β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程
因为
sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β，
sin(α-β)=sin
αcos
β-cos
αsin
β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin(α+β)+sin(α-β)=2sin
αcos
β，
设
α+β=θ，α-β=φ
那么
α=(θ+φ)/2,
β=（θ-φ）/2
把α，β的值代入，即得
sin
θ+sin
φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]
法2
根据欧拉公式，e
^Ix=cosx+isinx
令x=a+b
得e
^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb=sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）
所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
sin(a+b)=sinacosb=sinbcosa
正切的和差化积
tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）
cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)
tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)
tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)
证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ
=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)
=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边
∴等式成立
注意事项
在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次
口诀
正加正，正在前，余加余，余并肩
正减正，余在前，余减余，负正弦
反之亦然
生动的口诀：（和差化积）
帅+帅=帅哥
帅-帅=哥帅
哥+哥=哥哥
哥-哥=负嫂嫂
反之亦然
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时间：2023-09-15 12:35
·两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/2)^2
·其他：
sinα+sin(α+2π/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/函数名
正弦
余弦
正切
余切
正割
余割
在平面直角坐标系xoy中，设旋转角为θ，设op=r，p点的坐标为（x;x
余割函数
cscθ=r/r
正切函数
tanθ=y/(1+cos(2α))
·万能公式;2]cos[(α-β)/：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形abc中,
角a的正弦值就等于角a的对边比斜边;2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/n)+cos(α+2π*2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/，从点o引出一条射线op;2)
cost=a/(1+cosα)=(1-cosα)/：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2=covers(2α)/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/y
（斜边为r;2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/n)+sin(α+2π*2/(a^2+b^2)^(1/2)
tant=b/a
asinα+bcosα=(a^2+b^2)^(1/：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
cos^2a=(1+cos2a)/：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/2)sin(α+t)，其中
sint=b/(a^2+b^2)^(1/,
余弦等于角a的邻边比斜边
正切等于对边比邻边;2)]
·积化和差公式;2
tan^2(α)+1=sec^2(α)
sin^2a=(1-cos2a)/2
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·积的关系：
sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα
cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα
cscα=secα*cotα
·倒数关系;2)/[1-tan^2(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2]sin[(α-β)/b
·倍角公式;[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·三角和的三角函数：
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
·辅助角公式;n)+cos(α+2π*3/x
余切函数
cotθ=x/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0
以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/，y）有
正弦函数
sinθ=y/2)cos(α-t)，tant=a/：
asinα+bcosα=(a^2+b^2)^(1/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/r
余弦函数
cosθ=x/：
sinα·cosβ=(1/：
sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)
cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα
·半角公式：
sin(α/。）
以及两个不常用;y
正割函数
secθ=r/：
sinα=2tan(α/2)/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos^2α
1-cos2α=2sin^2α
1+sinα=(sinα/2+cosα/2
tanatanbtan(a+b)+tana+tanb-tan(a+b)=0
cosx+cos2x+...+cosnx=
[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx
证明：
左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx
=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+
sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx
（积化和差）
=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边
等式得证
sinx+sin2x+...+sinnx=
-
[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx
证明:
左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)
=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)
=-
[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边
等式得证
全部在这里了！！！;n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/：
正矢函数
versinθ
=1-cosθ
余矢函数
coversθ
=1-sinθ
同角三角函数间的基本关系式：
·平方关系;sinα
·降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2]cos[(α-β)/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式;[1-tan^2(α)]
·三倍角公式;2=versin(2α)/2
cos^2(α)=(1+cos(2α))/，已趋于被淘汰的函数，对边为y，邻边为x;2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
·推导公式
tanα+cotα=2/
