二重积分,可能要用格林公式或者高斯公式
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发布时间：2022-07-20 09:28
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时间：2023-10-21 10:51
∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²是laplace算符，看起来奇怪，还有个名字更加奇怪了，其实就是梯度的梯度，梯度就是增长最快的方向，其实就是个向量，不要想复杂了，那就窘了。
∫∫(x×∂f/∂x+y×∂f/∂y)dxdy其实就是求和，有多少个东西要被加起来？有一个单位圆面那么多的元素啊。那我就一个圆，一个圆加，从半径是1的一直到半径是0的可以吧。
对于半径为r的小圆周，(x,y)向量与圆周垂直，所以∫(x×∂f/∂x+y×∂f/∂y)本质就是∫<n,F>，沿着半径r的圆周积分。<n,F>表示两个向量的内积，一个是法向量n=(x,y)，另一个是梯度向量F=(∂f/∂x,∂f/∂y)
由gauss散度定理，对于任何向量函数G，∫<n,G>=∫∫梯度算符内积作用在G，而梯度作用两次的结果恰好是laplace算符，所以∫<n,F>＝∫∫(∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²)dxdy=∫∫e^(-x²-y²)dxdy，然后对每个半径r的小圆周，你把所有的结果加起来，就是∫∫∫re^(-x²-y²)dxdydr，就是∫∫∫re^(-r²)drdxdy，就是∫∫ [∫re^(-r²)dr] dxdy, 其中[∫re^(-r²)dr]=[(1/2)∫e^(-r²)(dr²)]=(1/2)[∫e^(-t)dt](从0到1)=1/2e，然后∫∫ (1/e) dxdy= 3.14/2e
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时间：2023-10-21 10:51
