对于一个数，用浮点数格式表示，那尾数怎么计算
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发布时间：2022-04-22 14:02
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时间：2022-07-12 03:14
一个浮点数a由两个数m和e来表示：a = m × b^e。
在任意一个这样的系统中，我们选择一个基数b（记数系统的基）和精度p（即使用多少位来存储）。m（即尾数）是形如±d.ddd...ddd的p位数（每一位是一个介于0到b-1之间的整数，包括0和b-1)。如果m的第一位是非0整数,m称作规格化的。
有一些描述使用一个单独的符号位(s 代表+或者-）来表示正负，这样m必须是正的。e是指数。
例如，一个指数范围为±4的4位十进制浮点数可以用来表示43210,4.321或0.0004321,但是没有足够的精度来表示432.123和43212.3（必须近似为432.1和43210)。当然，实际使用的位数通常远大于4。
扩展资料：
浮点数并不一定等于小数，定点数也并不一定就是整数。
C++中的浮点数有6种，分别是：
float：单精度，32位
unsigned float：单精度无符号，32位
double：双精度，64位
long double：高双精度，80位
纯小数要想用二进制表示，必须先进行规格化，即化为 1.xxxxx * ( 2 ^ n ) 的形式（“^”代表乘方,2 ^ n表示2的n次方）。对于一个纯小数D,求n的公式如下：
n = 1 + log2(D); // 纯小数求得的n必为负数
再用 D / ( 2 ^ n ) 就可以得到规格化后的小数了。接下来就是十进制到二进制的转化问题，为了更好的理解，先来看一下10进制的纯小数是怎么表示的，假设有纯小数D,它小数点后的每一位数字按顺序形成一个数列：
{k1,k2,k3,...,kn}
那么D又可以这样表示：
D = k1 / (10 ^ 1 ) + k2 / (10 ^ 2 ) + k3 / (10 ^ 3 ) + ... + kn / (10 ^ n )
推广到二进制中，纯小数的表示法即为：
D = b1 / (2 ^ 1 ) + b2 / (2 ^ 2 ) + b3 / (2 ^ 3 ) + ... + bn / (2 ^ n )
参考资料来源：百度百科-浮点数
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时间：2022-07-12 03:15
浮点数运算
假定有两个浮点数 X=Mx * 2Ex ， Y=My * 2Ey
（1）加减运算
实现X±Y运算,需要如下五步:
1.1 对阶操作,即比较两个浮点数的阶码值的大小.求△E=Ex-Ey。当其不等于零时,首先应使两个数取相同的阶码值。其实现方法是,将原来阶码小的数的尾数右移|△E|位,其阶码值加上|△E|,即每右移一次尾数要使阶码加1,则该浮点数的值不变(但精度变差了)。尾数右移时,对原码形式的尾数,符号位不参加移位,尾数高位补0;对补码形式的尾数,符号位要参加右移并使自己保持不变。为减少误差,可用另外的线路,保留右移过程中丢掉的一到几位的高位值,供以后舍入操作使用。
1.2 实现尾数的加(减)运算,对两个完成对阶后的浮点数执行求和(差)操作。
1.3 规格化处理,若得到的结果不满足规格化规则,就必须把它变成规格化的数，规格化处理规则如下:
当结果尾数的两个符号位的值不同时,表明尾数运算结果溢出。此时应 使结果尾数右移一位,并使阶码的值加1,这被称为向右规格化,简称右规。
当尾数的运算结果不溢出,但最高数值位与符号位同值,表明不满足规格化规则,此时应重复地使尾数左移、阶减减1,直到出现在最高数值位上的值与符号位的值不同为止,这是向左规格化的操作,简称左规。
1.4 舍入操作。在执行对阶或右规操作时,会使尾数低位上的一位或多位的数值被移掉,使数值的精度受到影响,可以把移掉的几个高位的值保存起来供舍入使用。舍入的总的原则是要有舍有入,而且尽量使舍和入的机会均等,以防止误差积累。常用的办法有"0"舍"1"入法,即移掉的最高位为1时 则在尾数末位加1;为0时则舍去移掉的数值。该方案的最大误差为2-（n+1）。这样做可能又使尾数溢出,此时就要再做一次右规。另一种方法 "置1"法,即右移时,丢掉移出的原低位上的值,并把结果的最低位置成1。该方案同样有使结果尾数变大或变小两种可能。即舍入前尾数最低位已为0,使其变1,对正数而言,其值变大,等于最低位入了个1。若尾数最低位已为1,则再对其置1无实际效用,等于舍掉了丢失的尾数低位值。
1.5 判结果的正确性,即检查阶码是否溢出。浮点数的溢出是以其阶码溢出表现出来的。在加减运算真正结束前,要检查是否产生了溢出,若阶码正常，加(减)运算正常结束；若阶码下溢,要置运算结果为浮点形式的机器零,若上溢,则置溢出标志。
例15：某浮点数阶码6位（含1位符号位：阶符），补码表示，尾数10位（含1位符号位，数符），补码表示， X=2010B * 0.11011011B, Y=2100B * (-0.10101100B)，求 X+Y
解： 由已知条件，Ex=+010B，Mx = 0.11011011 B，
Ey=+100B，My =-0.10101100 B
对应补码分别为
[Ex]补=[+010B] 补=[+00010B] 补=000010B
[Mx]补= [+0.11011011 B]补=[0.110110110 B] 补=0, 110110110 B
[Ey]补=[+100B] 补=[+00100B] 补=000100B
[-Ey]补=111100B
[My]补= [-0.10101100 B]补=[-0.101011000 B] 补=1, 010101000 B
浮点表示分别为：
数符 阶码 尾数数值
[X]浮 = 0 000010 110110110
[Y]浮 = 1 000100 010101000
15_（1）对阶
[△ E]补= [Ex]补+[-Ey]补= 00 00010B + 11 11100B = 11 11110B
△E =-00010B=-2，说明X的阶码小,应使Mx右移两位,Ex加2
所以修正[X]浮 = 0 000100 001101101 10
15_（2）尾数求和
00 001101101 10
+ 11 010101000
11 100010101 10
15_（3）尾数规格化
尾数运算结果的符号位与最高数值位均为1,应执行左规处理,具体为：将尾数左移一位，符号位1位，结果为1000101011, 阶码减1变为000011。
15_（4）尾数移出位的舍入处理
左规已将对阶移出的1位有效1移入，尾数不用做舍入处理。
15_（5）判溢出，写结果
尾数已规格化且阶码符号位为00，没有溢出,最终结果为
[Ex+y]补=000011 Ex+y=+00011B
[Mx+y]补=1000101011 Mx+y=-0.111010101B
所以，X+Y = 2+0011B *(-0.111010101B)
（2）乘法运算
实现X*Y运算,需要如下三步:
2.1 尾数相乘（两个定点小数相乘）
2.2 阶码求和
2.3 结果左规、舍入
例16：某浮点数阶码3位（含1位符号位：阶符），补码表示，尾数3位（含1位符号位，数符），原码表示， X=210B * 0.1101B, Y=2-01B * (-0.1011B)，求 X*Y
解：由已知条件，Ex=+10B，Mx = 0.1101 B，
Ey=-01B，My =-0.1011 B
对应机器数分别为：
[Ex]补=[+10B]补=010B
[Mx]原= [+0.1101 B]原=0, 1101 B
[Ey]补=[-01B]补=111B
[My]原= [-0.1011B]原=1, 1011B
机内浮点表示分别为：
数符 阶码 尾数数值
[X]浮 = 0 010 1101
[Y]浮 = 1 111 1011
16_（1）尾数相乘（Mx* My）
1.1 [ | Mx | ]原= [+0.1101 B]原=0, 1101 B
[|My | ]原= [+0.1011B]原=0, 1011B
1.2 高 位 积 乘数/低位积
Y0
00 0000 1 0 1 1
+[ Y0*|X| ]补 00 1101
00 1101
右移 00 0110 1 1 0 1
+[ Y0*|X| ]补 00 1101
01 0011
右移 00 1001 1 1 1 0
+[ Y0*|X| ]补 00 0000
00 1001
右移 00 0100 1 1 1 1
+[ Y0*|X| ]补 00 1101
01 0001
右移 00 1000 1 1 1 1
1.3 [Mx * My] 符号=[ Mx ]符号⊕[My]符号=0⊕1=1
1.4 [Mx * My] 原=1，100011110B
16_（2）阶码求和
00 10
+ 11 11
00 01
16_（3）结果左规、舍入
尾数已为规格化形式，由于数值部分职能保存4位，需对小数点后第5位进行0设1入,最终尾数原码为1，1001B
最终运算结果为：1 001 1001
所以，X*Y = 2+01B *(-0.1001B)
（3）除法运算
实现X/Y运算,需要如下三步:
3.1 尾数相除（两个定点小数相除）
3.2 阶码相减
3.3 结果规格化及舍入
例17：某浮点数阶码3位（含1位符号位：阶符），补码表示，尾数3位（含1位符号位，数符），原码表示， X=210B * 0.0011B, Y=2-01B * 0.1011B，求 X/Y
解：由已知条件，Ex=+10B，Mx = 0.0011 B，
Ey=-01B，My =-0.1011 B
对应机器数分别为
[Ex]补=[+10B]补=010B
[Mx]原= [+0.0011 B]原=0, 0011B
[Ey]补=[-01B]补=111B
[My]原= [-0.1011B]原=1, 1011B
机内浮点表示分别为：
数符 阶码 尾数数值
[X]浮 = 0 010 0011
[Y]浮 = 1 111 1011
17_（1）尾数相除（Mx/ My）
1.1 [ | Mx | ]原= [+0.00110000 B]原=0, 00110000 B
[|My | ]原= [+0.1011B]原=0, 1011B
[-|My | ]补= 1, 0101B
1.2 被除数高位/余数 被除数低位/商
00 0011 00000
+[-|My |]补 11 0101
11 1100 00000
左移 11 1000 00000
+[ |My |]补 00 1011
00 0011 00001
左移 00 0110 00010
+[-|My |]补 11 0101
11 1011 00010
左移 11 0110 00100
+[|My |]补 00 1011
00 0001 00101
左移 00 0010 01010
+[-|My |]补 11 0101
11 0111 01010
+[|My |]补 00 1011
00 0010
1.3 [Mx /My] 商符号=[ Mx ]符号⊕[My]符号=0⊕0=0
1.4 [Mx / My] 商原=0，1010B
17_（2）阶码相减
[-Ey]补=[+01B]补=001B
00 10
+ 00 01
00 11
17_（3）结果规格化、舍入
尾数已为规格化形式，余数过小，结果也不必舍入,
最终运算结果为：0 011 1010
所以，X*Y = 2+11B *(+0.1010B)
参考资料：百度文库
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时间：2022-07-12 03:15
如果不是的话，那你说的是什么？
