证明高中放缩不等式n!/r!(n-r)!n^r<1/r!和(1+1/n)^n<5/2?

发布网友发布时间：2022-07-17 01:06

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热心网友时间：2024-08-22 00:19

第一个： n!/r!(n-r)!n^r=(1/r！) *n(n-1)……(n-r+1)/n^r 其中n(n-1)……(n-r+1)/n^r分子共r项每项都小于n故有n(n-1)…… (n-r+1)/n^r<1 所以n!/r!(n-r)!n^r=(1/r！) *n(n-1)……(n-r+1)/n^r<1/r！当r>1时 1/r！=1/(r*……*1)<1/(r(r-1))
第二个：把(1+1/n)^n用二项式公式展开=1+C(n,1)/n+C(n,2)/n^2+…… 由上一条不等式的结论 C(n，r)/n^r<1/(r(r-1))
所以1+C(n,1)/n+C(n,2)/n^2+……<1+1+1/(2*1)+1/(3*2)+……+1/(n(n-1))=1+1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+……+(1/(n-1)-1/n)=3-1/n<3 题目中的5/2是错的当n趋于无穷大时(1+1/n)^n=e≈2.7 不信可以用计算器按一下0.0追问

追答0.0？

热心网友时间：2024-08-22 00:19

高中放缩与函数连在一块，单纯地放缩，不见过，根本不行。追问证明这两个式子？

证明高中放缩不等式n!/r!(n-r)!n^r&lt;1/r!和(1+1/n)^n&lt;5/2?

证明高中放缩不等式n!/r!(n-r)!n^r<1/r!和(1+1/n)^n<5/2?