求高手详细教导拉格朗日中值定理是怎么回事
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发布时间：2022-05-31 05:45
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热心网友
时间：2023-10-09 16:19
拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是 柯西中值定理的特殊情形。 如果 函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
。 f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续是拉格朗日中值定理成立的充分条件 理解——这个定理说的是什么 .在满足定理条件的前提下，函数f（x）上必有【一点的切线】与【f（x）在x=a，b处对应的两点（f（a）和f（b）点的连线平行）。f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/（b-a），等号后为x=a，b两点的连线斜率，等号前为f（x）上一点的导数的值，也就是f（x）上一点的斜率，两斜率相等，两线平行。这是几何上的理解方式。 2.我们将f（x）函数求导，得到f'(x)，众所周知f'(x)函数纪录的其实就是【f（x）函数在每一个瞬间的变化状态】。即，在x=x1这一瞬间f（x）进行了程度为f'(x1)的变化，在x=x2这一瞬间f（x）进行了程度为f'(x1)的变化……。函数由f（a）变化到f（b）的过程，其实就是f'(x)函数在（a，b）区间中纪录的变化状态的依次累加，没错就是对f'(x)函数在（a，b）区间的值进行积分的过程。那么，将这一过程中所有的变化状态的值一起取一个平均，这个平均值的数值一定在f'(x)的某一点上出现过（即f'(ξ)），因为f（x）连续，则其导数也连续。这个平均值乘上变化的区间（a到b）的长度 就等于这个 变化的变化量【f（b）-f（a）】。即所谓的必有一ξ∈(a,b)，使f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)。即，【a，b区间上f（x）函数的变化量】=【a，b区间内f（x）函数变化状态的平均值乘以区间长度】。这是代数理解方式.
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