堆叠素数论的素数定理
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发布时间：2022-05-30 01:34
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时间：2023-09-14 04:32
若用π(n)表示不超过n的素数的
个数.当n→+ 时, =+ .人们可以发现:顺着自然数的序列,越往后素数的密度 π(n)/ n就变得越小
7.1.2 陈氏定理―数学皇冠上的明珠
哥德*猜想(1742年)
每个偶数都是两个素数之和;每个奇数都是三个素数之和
哥德*猜想的研究进展
数学家哈代和李特尔伍德(英国,1923年)在广义黎曼猜想正确的前提下,有条件地证明了每个充分大的奇数都是三个奇素数之和以及几乎所有偶数都是两个奇素数之和.
维诺格拉多夫(1937年),无条件地证明了奇数哥德*猜想,即每个充分大的奇数都是三个奇素数之和
布朗(挪威1919年)证明了:每个大偶数都是两个素因子个数均不超过9的整数之和(记为9 + 9,记号k + l表示大偶数分解为不超过k个奇素数的积与不超过l个奇素数的积之和,下同)
布赫夕塔布的4 + 4(1940),瑞尼的l+c (c为一不确定大数)(1948)和库恩的a+b (a+b≤6)(1954);
王元的2+3(1957)和潘承洞的1+5(1962),到1965年,欧洲数学家邦别里等三人差不多同时证明了1 + 3;1966年,中国数学家陈景润宣布证明了1+2(1973年发表详细证明)
陈景润(1933~1996)简介
图7.1华罗庚(右)与陈景润(左)
7.1.3费马最后定理
费马猜想:对每个正整数n≥3,方程xn + yn = zn均没有正整数解(x, y, z).
费马本人利用无限下降法证明了n=4时,费马猜想成立.
1825年年仅20岁的德国数学家狄利克雷和年过七旬的法国数学家勒让德各自独立地证明了n = 5的情形,1839年法国数学家拉梅证明了n = 7的情形.
欧拉的整数分解的定理:
由a + b 形式的数所形成的数系(记为 ,a,b为任意整数)中,有唯一因子分解定理成立,即每一个整数都可唯一地分解为这个数系中数的乘积.
后来才知道,对形如 的数系,唯一因子分解定理并不总是成立的,例如在数系 中,6 = 3×2 =(1+ )(1- ),就有两种分解方式.事实上,能保证唯一因子分解定理成立的数系 只有9种
德国的数学家库默尔(1810~1893)利用理想数的概念,证明了对于 100以内的所有素数,都能使费马猜想成立.
志村-韦伊―谷山猜想――费马猜想的等价命题
怀尔斯的论文模曲线和费马最后定理 (1994年)――费马猜想终于成为定理,被称为费马大定理或费马最后定理
7.1.4 让我们教猜想吧
费马猜想是只会下金蛋的鹅
1966年菲尔兹奖获得者,英国数学家阿蒂亚(1929~)认为:与其它自然科学的情况一样,数学中的一些发现也要经过几个阶段才能实现,而形式证明只是最后一步.最初阶段在于鉴别出一些重要的事实,将它们排列成具体含义的模式,并由此提炼出看起来很有道理的定律或公式.接着,人们用新的经验事实来检验这种公式.只是到了此时,数学家们才开始考虑证明问题.
1958年菲尔兹奖获得者,突变理论的创立者,法国数学家托姆用半开玩笑的态度说:严格性是一个拉丁名词.我们会想起僵死(rigormorits),即僵化的尸体.我要把数学分为以下的三类:第一,以婴儿摇篮为标记.这是'活的数学'允许改变,澄清,完成证明,反对,反驳.第二,以十字架为标记.这是坟墓上的十字架.作者声明它已完全严格,具有不朽的正确性.这类工作将构成'坟墓数学'.第三,以教堂为标记.这是外部的权威,由高级教士组成,判断哪些工作已成为'坟墓数学'.
推测数学家的成功范例之一是印度数学家拉马努金(1887~1920)
波利亚认为,在数学教育中,证明与猜想,这两类推理即论证的与合情的都必须教给学生,在有些情况下教猜想比教证明更为重要.因此,波利亚强烈的呼吁:让我们教猜想吧!
