二次函数是甚麼?概念,定理?
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发布时间：2022-04-22 07:45
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时间：2022-06-18 00:01
自变量
x和
因变量
y之间存在如下关西：一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的
二次函数
。
顶点式
：y=a(x-h)^2+k;
交点式
（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2).（做题时会用到顶点式和交点式）
二.注意：变量不同于自变量，不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的
多项式函数
”。“未知数”只是一个数（具体汁未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（
函数方程
、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数的关系。
三.性质
1.
抛物线
是
轴对称图形
。
对称轴
为直线x
=
-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P
(
-b/2a
，(4ac-b^2)/4a
)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=
b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.
二次项系数
a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数:Δ=
b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。Δ=
b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。当Δ=
b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=
-b±√b^2－4ac
的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
当a>0时，函数在x=
-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是
增函数
；抛物线的开口向上；函数的
值域
是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变;
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是
偶函数
，
解析式
变形为y=ax^2+c(a≠0).
7.
定义域
：R
值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）
①[(4ac-b^2)/4a，
正无穷
）；
②[t，正无穷）
奇偶性
：偶函数
周期性：无
解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0，则抛物线开口朝上；a<0，则抛物线开口朝下；
⑶
极值点
：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ>0，图象与x轴交于两点：
（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b-√Δ]/2a，0）；
Δ=0，图象与x轴交于一点：
（-b/2a，0）；
Δ<0，图象与x轴无交点；
②y=a(x-h)^2+t[配方式]
此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；
