怎样证明集合{0}可以构成向量空间？ 急啊急。。。。多谢。。越具体越好
发布网友
发布时间：2022-04-23 05:45
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热心网友
时间：2023-10-17 04:18
具体来说就是，一个线性空间是先有一个数域，另外还有一个集合，集合中的元素可以定义一种加法运算和数乘运算（结合数域的数乘）后，验证这两个运算满足一系列的公理性要求，一共有八个，包括加法交换律，结合律，零元存在性，逆元唯一性，数乘运算的分配率，单位元存在性，等等。有些是可以合并到一个性质中进行验证的。注意这里的运算和元素都是抽象的，不同于一般实数域上的直观的四则运算法则。这样就构成了一个一般的线性空间。
具体到你说的问题，集合{0}里只有一个元素，仅对这个元素定义的运算都是平凡的，验证同样也是平凡的，所以构成线性空间同样是一件平凡的事情，但是必须经过一个严格的定义过程才能说它可以构成线性空间。
不知道你的问题是不是这样的，我只是猜你想表达这么一个问题。不对的话，再跟我讨论好了。
热心网友
时间：2023-10-17 04:19
1. V非空
2. 且对于向量加法及数乘运算封闭，即对任意的α、β∈V和常数k都有α+β∈V , kα∈V
就称集合V为一个向量空间
注释：
① 实向量指向量中的每一个分量均为实数，不特意说明，一般所谈向量均指实向量；
② 集合V对向量加法与数乘封闭，是指V中任意两个向量相加，其和向量仍然属于V；实数与y中向量相乘所得向量仍然属于V；
③ 此处的关键在于使向量线性相关、线性无关、线性表示等概念在集合V中得以运用，要求V中含有零向量。对V中任意向量含有它的负向量．
答案：
由向量空间定义的注释知道，判断一个向量集合是否可以构成向量空间，关键看是否非空，是否对加法与数乘封闭，是否含有零向量，对V中任意向量是否含有它的负向量．
(1)所有n维向量集合是指维数相同向量的集合．例如所有三维向量的集合R^3显然非空．三维向量加三维向量仍然为三维向量，数乘三维向量仍然为三维向量．即R^3对加法与数乘封闭．三维零向量属于R^3，其他运算律显然满足，三维向量的集合R^3是实数域R上的向量空间．同理任意n维向量集合又R^n是实数域R上的向量空间．
所以 n维向量的全体R^n构成一个向量空间．
特别地，三维向量可以用有向线段来表示，所以R^3也可以看作以坐标原点为起点的有向线段的全体．
或者所以 n维零向量所形成的集合{ 0 }构成一个向量空间
