趣谈微积分的发展
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发布时间：2022-10-24 11:54
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时间：2024-11-24 12:33
在谈微积分历程的之前，首先引入一个典故—— 飞箭悖论
芝诺问他的学生：“一支射出的箭是动的还是不动的？”
学生答：“当然是动的。
”芝诺：“可是，这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗？”
学生：“有的。”
芝诺：“在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗？”
学生：“有确定的位置，又占据着和自身体积一样大小的空间。”
芝诺：“那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的？”
学生：“不动的。”
芝诺：“那么其他瞬间呢？”
学生：“也是不动的。”
芝诺：“所以，射出去的箭是不动的。”
在回答上面问题的时候，先简单谈一下微积分的历程！！！
公元十七世纪，随着文艺复兴后，西方科技飞速发展，当时有许多问题需要解决，例如：曲线下面积，函数最值，运动过程分析等。。此时，各路的研究人马大显神通，其实最引人注目的便是牛顿和莱布尼兹。早期的微积分多是从图形和曲线来做研究，从牛顿莱布尼兹再到欧拉。后面由于几轮波折，微积分学科理论基础建立和完善，科学家们纷纷从数学分析来研究。牛顿从流数的方式研究微积分，给出了不可描述但鬼斧神工的多项式级数展开方式，通过多项式的形式计算出正弦函数的级数，无独有偶，莱布尼兹是从几何分析的方法研究，提出变化定理，计算出莱布尼兹级数，同时他也给出了微积分的表示符号，细长的“s”，但他们互相不服，牛顿派认为莱布尼兹是在他们的基础上提出的结论，直到多年后，莱布尼兹手稿被发现后，才承认二人都是独立的研究结果。
谈到级数，不得不提莱布尼兹的两名弟子，伯努利兄弟，在创建微积分学科做出也不少的贡献，哥哥雅各布致力于级数的发散和收敛，同事也提出了《猜度术》，也就是概率论的前身，但这是另外一个故事，弟弟雅各布致力于超越函数的级数，同时创建了微积分的教科书。
“江山代有才人才，各领*数百年”，继牛顿莱布尼兹沉寂多年后，又一位天才数学家横空出世，此人便是欧拉，谈到欧拉，不得不说一个话题，那就是对圆周率Π的估值计算，阿基米德计算Π的方式是圆内接，证明了任意圆周长和直接之比在（3又71分之10和3又7分之1），精确到圆周率两位3.14。后面的数学家们利用阿基米德的思想，韦达用393216的正多边形将Π精确到9位，然而这种几个近似法在可怜的鲁道夫范修伦手里达到了顶峰，或者说触碰了天底，穷尽一生精确到Π的35位，然而欧拉通过反正切函数的级数，仅仅1小时精确到Π的20位，不但如此他还创作了《微分原理》，《积分原理》，《无穷小分析引论》，到此时，微积分体系基本建立。
继欧拉后，此时的微积分学发展到一个新的阶段，不过又被别人引起质疑。《流数术》上述：无穷小量，时有时无，是零非零，非静实动，全在于心。伯克莱提出微积分理论基础不严谨，比如dx 时间空间的变化如何，为什么又会消失，此时微积分陷入了第一次波折。
直到柯西的降世，一切的纷争才最终结束。柯西并没有将微积分建立在级数的思想上，取而代之的是将微积分的理论建立在极限上，只要极限存在且收敛但不达到，这就规避了dx消失的情况。可以说通过他的研究成果，这么学科的影响超越了任何人。书中有一句对他的评价毫不过分，在此借用：“从很实际的意义上说，所有后来的人都算是他的门徒。”，其实最早提出极限的是达朗贝尔，只不过他并没有从原理是给出极限定义，因此他在这条路上并没有走太远，只是给出困境的解决办法。。
斗转星移，人们对微积研究，从一开始的研究材料是图形曲线，再到后面基本进入了函数的分析。历史从18世纪进入19世纪时，当函数分析继续出现在波振动和热扩散时，在此我们不得不说函数演绎中的经典人物----傅里叶，如同天上降魔主，他提出，在有限定义域内，任何函数都可以表示成我们现在所谓的傅里叶级数。但是他的结论是有局限的，他夸大了他的例子，他所说的函数都*在一些很常规和具备良性的函数，并没有作到任意，知道他的弟子狄利克雷，根据柯西的连续可积思想，提出有理无理分离函数的条件，进而支持并且完善了傅里叶级数。
之前我们说过，大家都是柯西的门人，为解决函数极限的问题，提出疑虑，一个函数不连续到何种程度算是依然可积的，是不是某些积分都有原函数。前者黎曼给出了黎曼可积法，后者提出了超越数和代数数（区分这两种数是看是否在整系方程可解）。但是都并没有能解决问题，只是提供了一条解决的思路，于是乎就有了一下四个问题：
1.我们能构造出一个在有理数上连续在无理数上不连续的函数吗？
2.一个黎曼可积函数的不连续性可能到达什么地步？
3.一个导数可以在何等程度上是不连续的？
4.我们能以任何一种方式弥补黎曼积分的缺陷吗？上述这四个问题便是我们所说的微积分的第二次波折。
后面人们便进入了数稠密性的研究，康托尔解决了代数数和超越数的问题，代数数犹如天上的繁星，而浓黑万里是超越数。从沃尔泰拉到勒贝格，分别从函数点态连续性再到后来的有界可测性，此后的历史长河中，微积分又遭受波折，却又在绝处逢生，并且涌现了很多新的门派和旁支，每次又有新的人挑起时代的大梁，不过这都是后话了，正有了前任的不懈研究，才有了我们今天的所认知微积分的体系。 至此，微积分的发展告一段落。
再回到开始的问题，看起来确实是这一点，如果我们把时间无限细分，那确实是飞矢不动的，问题是时间能不能细分呢？？
可能很多人会想，我们说的某个时间是指某个时间段，还是指某一刻，某个时段的话那永远都有时间差。这样的回答虽然是对的，但是说的少了一点技术含量，就好比问飞蛾为啥会扑火，回答的是飞蛾的趋光性一样。
实际上时间确实不可能无线细分的，因为存在最小时间差，那就普朗克时间常量，时间的最小值，这涉及到量子力学，那便是另一个故事了。。
最后，附带一篇好文：
在这个世界上，有的事情一期一会，永不再来，并且时间始终不曾停息地将那些刻骨铭心的往昔连续的标记在时间点上。但是这些事情往往又成为我们格外宝贵的回忆，在我们大脑里隔一段时间就会周期性的蹦出来，可惜这些回忆都是零散的片段，往往只有幸福的回忆，而平淡的回忆则逐渐被我们忘记。因为，往昔是一个连续的非周期的信号，而回忆是一个周期离散信号。
此之为傅立叶变换
