数学竞赛,望指点。
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发布时间：2022-10-10 20:48
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时间：2023-10-09 11:47
思路:
利用下面链接里整系数多项式的相关性质3
百度百科:整系数多项式
方案1:
由整系数多项式的相关性质可见，p(x)是唯一的(PS：不用性质，由填空题也知道只有一个解)
那么凑出p(x)就行了
p(x)有根1+√2+√3
则它有因子x-(1+√2+√3) =x - 1 - (√2+√3)
则为了消除无理数部分，再凑一个因子 x - 1 + (√2+√3)
两个因子相乘得， (x-1)^2-(√2+√3)^2=(x-1)^2-5-2√6
为了消除无理数部分，再凑一个乘数(x-1)^2-5+2√6
两者相乘得, ((x-1)^2-5)^2-(2√6)^2
这就是p(x),x=0代入的，d= ((0-1)^2-5)^2-24=-8
方案2：
由整系数多项式的相关性质可直接得到推论，
由于p(x)有根1+√2+√3，则p(x)必有根
1-√2+√3
1+√2-√3
1-√2-√3
则p(x)=(x-(1+√2+√3))(x-(1-√2+√3))(x-(1+√2-√3))(x-(1-√2-√3))
把x=0代入，得
d=-8
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时间：2023-10-09 11:48
d=-8.
a b c d 为整数
代入解后，x^4、x^3、x^2、x，这四个式子中均含有不等数量的 根号2、根号3、根号6
然后 x^4、ax^3、bx^2、cx中的根号2、根号3、根号6互相抵销，整数部分与d抵销。
整个问题转化为四元一次方程求解问题。
然后求得，a=-4，b=-4，c=16，d=-8。
热心网友
时间：2023-10-09 11:48
