线性代数:n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个()?
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发布时间：2022-10-16 20:56
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时间：2023-10-23 20:36
n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量!
[证明] 充分性：已知A具有n个线性无关的特征向量X1，X2，……，则AXi=入iXi i=1,2,……,n
A[X1 X2 ……Xn]=[入1X1 入2X2 ……入nXn]
=[X1 X2 ……Xn]*
X1，X2，Xn线性无关，故P=[X1 X2 Xn]为满秩矩阵，令V=*，则有AP=PV
V=AP/P
必要性：已知存在可逆方阵P，使
AP/P=V=*
将P写成列向量P=[P1 P2 Pn] Pn为n维列向量
[AP1 AP2……APn]=[入1P1 入2P2……入nPn]
可见，入i为A的特征值，Pi为A的特征向量，
所以，A具有n个线性无关的特征向量。
扩展资料
描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式，λ是A的特征值等价于线性方程组(A – λI) v = 0 （其中I是单位矩阵）有非零解v (一个特征向量)，因此等价于行列式|A – λI|=0 。
函数p(λ) = det(A – λI)是λ的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和，这就是A的特征多项式。矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。
一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ) = 0来得到。 若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。 反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。
热心网友
时间：2023-10-23 20:37
