数学问题高一
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发布时间：2022-12-05 22:52
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热心网友
时间：2023-07-04 13:25
给你看个原题 IMO 2008 第一题
给定一个锐角三角形△ABC，垂心为H。Ma、Mb、Mc分别为三条边的中点。以Ma为圆心，过点H的圆与线段BC相交于点A1、A2；类似地，以Mb、Mc为圆心，过点H的圆与三角形交于B1、B2、C1、C2。求证，A1、A2、B1、B2、C1、C2六点共圆。
解：
首先注意到，图中三角形的三条垂线正好穿过了圆和圆之间的公共弦。我们可以很轻易地证明这一点。只需注意到线段MaMb是三角形的中位线，它平行于AB，我们立即得到MaMb⊥HC；而过两圆交点并垂直于连心线的正好就是两圆的公共弦，因此圆Ma和圆Mb的公共弦在HC上。对于其余两对圆有同样的结论。由于C在圆Ma和圆Mb的公共弦的延长线上，因此C到两圆的切线一样长。假设这个长度为t。另外，把圆Ma和圆Mb的半径长分别记作Ra、Rb。观察两个蓝色的直角三角形，显然有(AC/2)^2 - (Rb)^2 = t^2 =(BC/2)^2 - (Ra)^2。
另一方面，如果题目中的六个点共圆，圆心一定在A1A2、B1B2、C1C2的中垂线的交点上（实际上也就是△ABC的外心）。假设这个点为O，它到Ma、Mb的距离分别为Sa、Sb。观察两个绿色的直角三角形，显然有(AC/2)^2 + (Sb)^2 = (OC)^2 = (BC/2)^2 + (Sa)^2。两式相减，有(Rb)^2 + (Sb)^2 = (Ra)^2 + (Sa)^2，应用到△OMaA1、△OMaA2、△OMbB1、△OMbB2四个直角三角形上，立即可以看到点O到A1、A2、B1、B2的距离相等，这四个点共圆。
同理，B1、B2、C1、C2也共圆，因此这六个点都在同一个圆上。
热心网友
时间：2023-07-04 13:25
∵∠BAC=90°，PL∥AC，
∴∠BPL=90°，∴∠B+∠BLP=90°，
∴∠BAH=∠BLP，
∴RTΔSAP∽RTΔSLH，
∴SP/SA=SH/SL，∵SA=SH，
∴SA^2=SP*SL，同理：SA^2=SN*SK，SA^2=SQ*SM，
∴SP*SL=SN*SK=SQ*SM，
∴P、L、N、K四点共圆，P、L、Q、M四点共圆，N、K、Q、M四点共圆，
又AS^2=AP*AQ=AM*AN，∴P、Q、M、N四点共圆，
∴P、Q、K、L、M、N六点共圆。
如有疑问请追问O(∩_∩)O~
求采纳~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~追问好人。我看看
追答鄙人很努力了，求采纳啊╭(╯3╰)╮
热心网友
时间：2023-07-04 13:26
热心网友
时间：2023-07-04 13:26
