图形学笔记二 正交矩阵、转置矩阵和旋转
发布网友
发布时间：2022-10-29 07:41
共1个回答
热心网友
时间：2023-10-09 20:49
参考课程P4：
https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744?p=4
参考 对称矩阵、对角矩阵与三角矩阵
对称矩阵（Symmetric Matrix）是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵，例如：
可以看到，对称矩阵的转置等于其自身
对角矩阵（Diagonal Matrix）是指除主对角线之外其他元素都为0的矩阵，例如：
三角矩阵（Triangular Matrix）分为上三角矩阵和下三角矩阵。
上三角矩阵（Upper Triangular Matrix）是指主对角线以下元素全为0的矩阵，如：
下三角矩阵（Lower Triangular Matrix）是指主对角线以上元素全为0的矩阵，如：
正交矩阵是指其转置等于逆的矩阵
正交：可以简单理解成就是垂直.
以三维空间为例，我们希望正交矩阵是：
但是实际上他很可能是下边这个样子：
所以结论就是：凡是正交矩阵一定可以对角化！
将矩阵的行列互换得到的新矩阵称为转置矩阵，转置矩阵的行列式不变。
转置矩阵：
转置矩阵，在 3Blue1Brown 的线代视频中没有深入介绍，在此直接关注如何应用即可。
写出旋转θ和旋转负θ的矩阵，会发现旋转负θ，等于旋转θ的转置，这是正交矩阵的性质。通常求逆矩阵是很费性能的，而求转置矩阵则非常简单。
视频很快就开始讲这个公式，然后我没有听懂，还是自己搜索一下吧。首先是百度百科，给了这个公式的定义：
然后B站视频有个公式推导，有了前面的线代基础，可以直接看P2： https://www.bilibili.com/video/BV1yW41177Y8?p=2
视频首先讲了绕Z轴的旋转，此时定义k向量与Z轴平行，V向量与X轴平行，然后旋转了θ，跑到了v rot位置。如图的公式很容易理解，后半部分的kv点乘其实就是右手法则(四根手指指向K之后向V弯曲，拇指的方向正是Y)下的Y坐标轴，再乘以sina θ，就是旋转后的向量在Y轴的投影即Y坐标值。
这里作者的思路就是，先把v分解成向上的向量和向左的向量。向左的向量经过旋转后，再加上向上的向量，就会组合成目标向量v rot。
这里上图打问号的部分，应该是作者搞错了。其实垂直分量的投影很容易理解，用v去点乘k，得到的是一个标量，即在k方向的投影向量的长度，为了表示这个投影向量，还需要指明它的方向，再乘以一个k单位向量即可：
现在把上述结果合并后，提取公因式化简即可得到：
然后就是证明如上图中方框内的两个东西是相等的，根据右手定则能看出方向是一致的。而大小呢，截图中漏写的，已经在红圈处补出来，它的值正是上面式子中的|v| sin<k,v>。
在P3中，作者推导了矩阵表示，即vrot = R v，那个矩阵R是什么？这里没细看，直接放结论了：
