初二的一题几何奥数,求解。

发布网友发布时间：2022-11-17 17:54

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热心网友时间：2024-11-23 11:09

虽然已经有许多人给出了正确答案，但是我仍想说一下我的思路以及从此题上得到的经验。
1、做几何题可以从最基本的量（如三角形的三条边或三个角）开始然后找到题目中提及的各个量是如何由这些基本的量决定的。此题中在决定了A、B、C、D（中点D虽然由A、B、C决定，但它过于平凡，所以也可以认为是“基本”的量）然后开始想如何来“定”出点P。
显然，点P要满足题目中说的条件。那么如果不使用量角器，我们应该如何定出P？

这里要插一句，之所以想不使用量角器来做作图定出P是为理清各边、角之间的关系，换句话说如果我们知道了如何来定出P，那么很有可能蕴涵在题目后面的某些重要关系就很明显了。

为定出P，很明显P是有任意性的，而且一合适的P能够唯一决定其在BC上的垂足L（或同样AC上的垂足M），这就启发我们可以将此任意性移到L上去，先在BC上任意决定一L，然后过它作垂线，然后试图在此垂线上找点P使其满足题目的条件即∠PAC=∠PBC。

由于这里牵涉到两角相等，又牵涉到垂线，我自然地联想到了对称点（就如同给定两点与一直线，如何在直线上找点使其到两点的距离和极小）所以就有图一中的点E，即点B关于过L的垂线的对称点。

观察此图，我发现了一些值得注意的地方。一是由于E是B的对称点，所以EL=BL，从而EA平行于LD，且EA=2LD。二是∠ECA=∠EPA，为什么会关心这？因为这里∠ECA是角C的外角，即虽然∠EPA是与B的对称点相关的，但是∠ECA却很“一般”，没有体现出B的对称点的特殊性来，换句话说如果B的对称点E有这性质，那么A关于M的对称点也会有同样的性质，即应该也会有某个角等于角C的外角。也即通过对称点B得到的一些角中会有一角（∠EPA）和通过对称点A得到的一些角的一角相等。这就启发我们利用这一对相等的角可以得到一些重要的东西。

至此，虽然仍然没有确切地知道点P如何定出，但是似乎对B和A分别作对称点能够得到一些重要的东西。所以有图二。正如预料的∠EPA=∠ECA=角C的外角=∠FCL=∠BPF（最后一等号利用了∠CFP=∠FAP=∠EBP，其实是和图一完全相仿的逻辑），然后围绕此角，我们很容易注意到由对称性带来的性质即AP=FP与EP=PB，到这里，我想该证的东西应该很显然了。即△EPA≌△BPF，从而EA=BF，再注意到EA是两倍的DL，BF是两倍的DM，从而命题得证。
向左转|向右转
2、总结上述的过程可以看见由“基本量”出发找出各“被决定量”与基本量之间的关系可以帮助看见题目或图形中本质的东西。这也即为什么许多人给出了答案但我仍然说这么多的原因。
3、如果将此命题逆一下，其实也成立。即如果D是△ABC边AB的中点，L、M分别在边BC与AC上，且DL=DM，那么过L与M的两垂线的交点P具有性质∠PAC=∠PBC。证明其实很显然，依然是靠△EPA≌△BPF，但是此时利用的是“边边边”的关系而非之前的“边角边”的关系。再由全等知道∠EPA=∠BPF，两角再同时加∠EPF即得∠FPA=∠BPE。注意到△FPA与△BPE都为等腰三角形，所以逆命题也成立。
4、如图三及上面关于逆命题的描述，此题的一副产品是告诉了我们如何在三角形中找点P使∠PAC=∠PBC成立。如果下次遇到有这一性质的题，就很容易知道其中各边角之间的关系了。