数列1 2 3 5 8 ···求(1)求a10的值 (2)求通项公式an
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发布时间：2022-11-17 16:37
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热心网友
时间：2024-11-24 11:40
你好！这个数列是数学上定义的裴波那契数列首先观察，发现：从第三项起，每项都是前两项之后，故可以写出前十项： 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ---------- 《1》 由上分析知：a10= 89 《2》 为了书写方便，下面用F（n）代替an 裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13------------ 裴波那契数列递推公式：F(n+2) = F(n+1) + F(n) F(1)=F(2)=1。 它的通项求解如下： F(n+2) = F(n+1) + F(n) => F(n+2) - F(n+1) - F(n) = 0 令F(n+2) - aF(n+1) = b(F(n+1) - aF(n)) 展开F(n+2) - (a+b)F(n+1) + abF(n) = 0 显然a+b=1 ab=-1 由韦达定理知 a、b为二次方程 x^2 - x - 1 = 0 的两个根 解得a = (1 + √5)/2，b = (1 -√5)/2 或 a = (1 -√5)/2，b = (1 + √5)/2 令G(n) = F(n+1) - aF(n)，则G(n+1) = bG(n)，且G(1) = F(2) - aF(1) = 1 - a = b，因此G(n)为等比数列，G(n) = b^n ，即 F(n+1) - aF(n) = G(n) = b^n --------(1) 在(1)式中分别将上述 a b的两组解代入，由于对称性不妨设x = (1 + √5)/2，y = (1 -√5)/2，得到： F(n+1) - xF(n) = y^n F(n+1) - yF(n) = x^n 以上两式相减得： (x-y)F(n) = x^n - y^n F(n) = (x^n - y^n)/(x-y) = {[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5 即：an= {[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5 不懂可以继续追问，望采纳，谢谢！这个题目有兴趣可以继续研究！
求采纳
热心网友
时间：2024-11-24 11:40
第一项和第二项是固定的
从第三项开始
为前两项的和
然后就可以推导出来了
