薛定谔方程共轭式
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发布时间：2022-04-23 08:05
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时间：2022-06-18 02:54
一维的含时薛定谔方程形式为，其中为势函数，相当于牛顿第二定律的力的地位。因此，理论上只要给定一个确定的势函数，以及一个确定的初始条件，就能得到粒子后续的运动情况。
特别地，当势函数不显含时间的情况下，有
此时可用分离变量法求解，即令，则有
代入上式可得
观察上式，左边为的函数，右边为的函数。那么等式成立的条件为，两边都等于一个常数，设此常数为，则可以得到两个常微分方程
其中式（1）称为定态薛定谔方程，之所以称之为定态，原因如下：
解方程（2）可得，设此时相应的方程（1）的解为，那么有,则由波函数的统计诠释，概率密度与时间无关！因此称式（1）为定态薛定谔方程，其中定态的意思即与概率密度与时间无关，式（1）的解称为定态解。
一般地，给定势函数后，满足条件的不止一个，可记为.求得的定态解为,相应的式（2）的解为,则总的定态解为.
含时薛定谔方程的解可由叠加原理得到，即为定态解的线性组合
在给定了初始条件后，可以求出各系数,进而求得含时解。
一般地，在势函数不显含时间的情形下，求解含时的薛定谔方程可以先通过求解定态薛定谔方程，再通过线性组合得到含时解。
参考资料
【1】《量子力学概论》——大卫|格里菲斯
