高二数学,函数的极值与导数。

发布网友发布时间：2022-11-29 19:42

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热心网友时间：2023-10-28 14:41

函数f(x)=-(1/3)x³+x²+(m²-1)x，x∊R，m>0，(1)。当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)求f(x)的单调区间和极值。
解：(1)。当m=1时，f(x)=-(1/3)x³+x²；f '(x)=-x²+2x；f '(1)=-1+2=1；即f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜
率为1.
(2)。令f '(x)=-x²+2x+m²-1=(-x+m+1)(x+m-1)=-(x-m-1)(x+m-1)=0
得驻点x₁=1-m，x₂=1+m；(m>0)；x₁是极小点，x₂是极大点。
故minf(x)=f(1-m)=-(1/3)(1-m)³+(1-m)²+(m²-1)(1-m)=-(1/3)(1-m)²(2m+1)
maxf(x)=f(m+1)=-(1/3)(m+1)³+(m+1)²+(m²-1)(m+1)=(1/3)(1+m)²(2m-1)
f(x)在区间(-∞，1-m]∪[1+m，+∞)内单调减；在区间[1-m，1+m]内单调增。

热心网友时间：2023-10-28 14:41

1）。当m=1时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1))处切线的斜率。
解：f(x)=-1/3*x^3+x^2,
f'(x)=-x^2+2x,f'(1)=1，为所求。

（2）。求函数f(x)的单调区间和极值。
解：f'(x)=-x^2+2x+m^2-1
=-(x-1)^2+m^2
=-(x-1+m)(x-1-m),
由m>0知1-m<x<1+m时f'(x)>0,此外f'(x)<=0,
∴f(x)的增区间是（1-m,1+m),
减区间是(-∞，1-m],[1+m,+∞）。
f(1-m)=(1-m)[-1/3(1-m)^2+1-m+m^2-1]
=-1/3*(1+2m)(1-m)^2,是它的极小值，
f(1+m)=(1+m)[-1/3*(1+m)^2+1+m+m^2-1]
=-1/3*(1-2m)(1+m)^2, 是它的极大值。