证明:若n阶矩阵A有n个互不相同的特征值, 则AB=BA的充要条件是A的特征值也是B的特征值.

发布网友发布时间：2022-07-10 11:37

共3个回答

热心网友时间：2023-10-14 00:06

a有n个互不相同的特征值，则a有n个线性无关的特征向量，它们也是b的特征向量，所以a与b都相似于对角阵。记这n个特征向量拼成的矩阵为p，则有(p^-1)ap=c，(p^-1)bp=d，其中的c与d是对角阵。由于cd=dc，所以有ab=(p^-1)cp(p^-1)dp=(p^-1)cdp=(p^-1)dcp=(p^-1)dp(p^-1)cp=ba。

热心网友时间：2023-10-14 00:06

显然是错的
合理的问题是“若n阶矩阵A有n个互不相同的特征值, 则AB=BA的充要条件是A的特征向量也是B的特征向量”追问打错了谢谢提醒orz

追答给你个提示：AB=BA (P^{-1}AP)(P^{-1}BP)=(P^{-1}BP)(P^{-1}AP)

热心网友时间：2023-10-14 00:06

来证明下必要性，看大家都证明了充分性，如图所示，可能用初等矩阵计算C*那个字母更简单点吧。