向量的基本公式与做题方法

发布网友发布时间：2022-07-12 03:29

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热心网友时间：2023-10-16 08:22

如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。证明： 1）充分性，对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。 2）必要性，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有 b =λa，当向量a与b反方向时，令 λ=-m，有 b=-λa。如果b=0，那么λ=0。 3）唯一性，如果 b=λa=μa，那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。证毕。[编辑本段]推论推论1 两个向量a、b共线的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。证明： 1）充分性，不妨设μ≠0，则由 λa+μb=0 得 b=(λ/μ)a。由共线向量基本定理知，向量a与b共线。 2）必要性，已知向量a与b共线，若a≠0，则由共线向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，实数λ、μ不全为零。若a=0，则取μ=0，取λ为任意一个不为零的实数，即有 λa+μb=0。证毕。推论2 两个非零向量a、b共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。证明： 1）充分性，∵μ≠0，∴由 λa+μb=0 可得 b=(λ/μ)a。由共线向量基本定理知，向量a与b共线。 2）必要性，∵向量a与b共线，且a≠0，则由共线向量基本定理知，b=λa；又∵b≠0，∴λ≠0；取 μ=-1≠0，就有 λa+μb=0，实数λ、μ全不为零。证毕。推论3 如果a、b是两个不共线的向量，且存在一对实数λ、μ，使得 λa+μb=0，那么λ=μ=0。证明：（反证法）不妨假设μ≠0，则由推论1 知，向量a、b共线；这与已知向量a、b不共线矛盾，故假设是错的，所以λ=μ=0。证毕。推论4 如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一实数λ，使得向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。（其中，向量AC=λ向量AB）。证明： ∵三点P、A、B不共线，∴向量AB≠0，由共线向量基本定理得，点C在直线AB上 <=> 向量AC 与向量AB 共线 <=> 存在唯一实数λ，使向量AC=λ·向量AB ∵三点P、A、B不共线，∴向量PA 与向量PB 不共线， ∴向量AC=λ·向量AB <=> 向量PC-向量PA=λ·(向量PB-向量PA) <=> 向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB。证毕。推论5 如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一一对实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）证明：在推论4 中，令 1-λ=μ ，则λ+μ=1，知：三点P、A、B不共线 <=> 点C在直线AB上的充要条件是：存在实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）下面证唯一性，若向量PC=m向量PA+n向量PB，则 m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB，即，（m-λ）向量PA+（n-μ）向量PB=0， ∵三点P、A、B不共线，∴向量PA 与向量PB 不共线，由推论3 知，m=λ，n=μ。证毕。推论6 如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ、ν，使得 λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。证明： 1）充分性，由推论5 知，若三点P、A、B不共线，则点C在直线AB上 <=> 存在实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB（其中，λ+μ=1）。取ν=-1，则有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，且实数λ、μ、ν不全为零。 2）必要性，不妨设ν≠0，且有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，则向量PC=（λ/ν)·向量PA+(μ/ν)·向量PB，（-λ/ν）+（-μ/ν）=1。由推论5 即知，点C在直线AB上。证毕。推论7 点P是直线AB外任意一点，那么三不同点A、B、C共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ、ν，使得 λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。证明：（反证法） ∵点P是直线AB外任意一点，∴向量PA≠0，向量PB≠0，向量PC≠0，且向量PA、向量PB、向量PC两两不共线。由推论6 知，实数λ、μ、ν不全为零， 1）假设实数λ、μ、ν中有两个为零，不妨设λ≠0，μ=0，ν=0。则 λ向量PA=0，∴向量PA=0。这与向量PA≠0。 2）假设实数λ、μ、ν中有一个为零，不妨设λ≠0，μ≠0，ν=0。则 λ向量PA+μ向量PB=0，∴向量PA=（μ/λ）·向量PB，∴向量PA 与向量PB共线，这与向量PA 与向量PB不共线矛盾。证毕。[编辑本段]共线向量定理定理1 ⊿ABC中，点D在直线BC上的充要条件是其中都是其对应向量的数量。证明：有推论5 即可证得。定理2 ⊿ABC中，点D在直线BC上的充要条件是其中都是有向面积。通常约定，顶点按逆时针方向排列的三角形面积为正，顶点按顺时针方向排列的三角形面积为负。证明：由定理1 即可得证。