怎么求点到面的距离
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发布时间：2022-07-13 06:25
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热心网友
时间：2023-10-25 17:53
热心网友
时间：2023-10-25 17:54
一 直接法
根据空间图形的特点和性质，找到垂足的位置，直接向平面引垂线，构造可解的直角三角形求解。
例1. （1998年全国高考题）已知斜三棱柱 的侧面 与底面ABC垂直， ，且 ；（I）求侧棱 与底面ABC所成角的大小；（II）求侧面 与底面ABC所成二面角的大小；（III）求顶点C到侧面 的距离。
图1
简析：（I）如图1，取AC中点D，易得侧棱 与底面ABC所成的角为 。
（II）由于 底面ABC，过D作 于E，连 ，知 ，则 为所求二面角的平面角。易求得 。
（III）要求C到平面 的距离，可直接作 面 于 ，CH的长就是点到平面的距离。关键是怎样求CH的长。注意到 ，连BH，则由三垂线定理得 ，即 为二面角的平面角。由（II）知 ，所以 为所求。
注：此法的关键是要找到可解的直角三角形来求解。
二. 找垂面法
找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段。
例2. 正三棱柱 的底面边长为2，侧棱长为 ， 的中点为D。（1）求证 平面 ；（2）求点B到平面 的距离。
图2
简析：（1）连 与 相交于O，连DO。由三角形中位线定理易得 ，则 。
（2）由于O为 的中点，所以点B到平面 的距离等于点 到平面 的距离。
由 ，得 ，又 ，所以面 ，交线为AD（找到了垂面）。
过 作 于H，则 ，所以 的长度就是点 到平面 的距离。
在 中，
所以点B到平面 的距离为 。
三. 转化法
当由点向平面引垂线发生困难时，可利用线面平行或面面平行转化为直线上（平面上）其他点到平面的距离。
例3. （1991年全国高考题）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。
简析：如图3，连AC分别与BD相交于O，与EF相交于H，由EF//BD，得BD//平面EFG。所以O到平面EFG的距离就是B到平面EFG的距离。易证平面 平面GEF，交线为GH。在 中，过O作 于K，则OK长就是B到平面EFG的距离。利用相似三角形，易得 。
图3
四. 等积法
即利用三棱锥的换底法,通过积体计算得到点到平面的距离.本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算较为复杂。
例4. 同例3。
简析：设B到面EFG的距离为h，
由于 ，
所以
另一方面， ，
所以 ，
得 即为B到平面GEF的距离。
五. 坐标向量法
通过建立空间直角坐标系，用空间向量求模长的知识可求得点到平面的距离。
例5. （2003年江苏高考题）如图4，在直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形， ，侧棱 ，D、E分别是 与 的中点，点E在平面ABD上的射影是 的重心G。（I）求 与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（II）求点A1到平面AED的距离。
图4
简析：（I）易知 为 与平面ABD所成的角。不难求出 。
（II）分别以CA、CB、 为x轴、y轴、z轴，建立如图4所示的空间直角坐标系。
设 ，则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1）， （2a，0，2），E（a，a，1）， ，
所以
由 ，
解得 。
所以A（2，0，0）， （2，0，2），E（1，1，1）
易证平面 平面 ，交线为AE，所以点 在平面AED内的射影H在AE上。
设 ，则
由 ，即 ，得
所以
故点 到平面AED的距离为 。
