一个直角三角形中，已知一条边长和一个角度，怎样求另一边长？
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发布时间：2022-04-22 12:50
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时间：2023-11-05 04:56
勾股定理：a²+b²=c²
如果知道a或b的平方，就可以用a或b加一个小数字来尝试
知道c的长度，就把它拆成两个和比自己大的数字来验证
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 A^2+B^2=C^2;； 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果三角形的三条边A，B，C满足A^2+B^2=C^2;，还有变形公式：
，如：一条直角边是a，另一条直角边是b，如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理） 直角三角形由 毕达哥拉斯在公元前550年提出。
有一个 角为 直角的三角形称为 直角三角形。在直角三角形中，与直角相邻的两条边称为 直角边，直角所对的边称为 斜边。直角三角形直角所对的边也叫作“ 弦”。若两条直角边不一样长，短的那条边叫作“ 勾”，长的那条边叫作“ 股”。
中文名直角三角形别 称Rt△提出时间2016.3.10适用领域范围三角形内角和度数180度 外文名right triangle表达式Rt△ABC应用学科数学分类方法按角或边分类
目
录
1图形示列
2判定定理
3特殊性质
4判定方法
5基本简介
6相关线段
7勾股定理
8应用举例
9斜边公式
10三角函数
11解三角形
解法含义
解法归纳
1图形示列
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直角三角形如图所示：分为两种情况，有普通的直角三 直角三角形角形，还有 等腰直角三角形（特殊情况)
2判定定理
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等腰直角三角形是一种特殊的三角形
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：具有稳定性、内角和为180°。两 直角边相等，两锐角为45°，斜边上 中线、 角平分线、 垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为此三角形外接圆的半径R。
3特殊性质
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它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质 ：
性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图，∠BAC=90°，则AB²+AC²=BC²（ 勾股定理)
性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
性质3：在直角三角形中， 斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点， 外接圆半径R=C/2）。该性质称为 直角三角形斜边中线定理。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有 射影定理如下：直角三角形
（1）（AD)²=BD·DC。
（2）（AB)²=BD·BC。
（3）（AC)²=CD·BC。
射影定理，又称“ 欧几里德定理”：在 直角三角形中，斜边上的高是两条 直角边在斜边射影的比例中项，每一条 直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的 比例中项。是 数学图形计算的重要定理。
性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
证明方法多种，下面采取较简单的几何证法。
先证明定理的前半部分，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，那么BC=AB/2
∵∠A=30°
∴∠B=60°（直角三角形两锐角互余）
取AB中点D，连接CD，根据 直角三角形斜边中线定理可知CD=BD
∴△BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
∴BC=BD=AB/2
再证明定理的后半部分，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB/2，那么∠A=30°
取AB中点D，连接CD,那么CD=BD=AB/2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
又∵BC=AB/2
∴BC=CD=BD
∴∠B=60°
∴∠A=30°
性质7:如图， 在Rt△ABC中∠BAC=90°，AD是斜边上的高，则：
证明：S△ABC=1/2*AB*AC=1/2*AD*BC
两边乘以2，再平方得AB²*AC²=AD²*BC²
运用勾股定理，再两边除以
,最终化简即得
性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
4判定方法
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判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：若
，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（ 勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为 斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角 互为余角（两角相加等于 90°）的三角形是直角三角形。
判定5：若两直线相交且它们的 斜率之积互为 负倒数，则两直线互相垂直。那么这个三角形为直角三角形。
判定6：若在一个三角形中一边上的 中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。参考 直角三角形斜边中线定理
判定7：一个三角形 30°角所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形。
判定3和7的证明：
已知△ABC中，∠A=30°，∠A，∠C对的边分别为a，c，且a=
c。求证∠C=90°
证法1：
正弦定理，在△ABC中，有a:sinA=c:sinC
将a与c的关系及∠A的度数代入之后化简得sinC=1
又∵0<∠C<180°
∴∠C=90°
证法2
反证法，假设∠ACB≠90°，过B作BD⊥AC于D
在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠A=30°
∴BD=
AB（30°的直角边等于斜边的一半）
又∵BC
AB
∴BC=BD
但BD是B到直线AC的垂线段，根据垂线段最短可知BD
（或从BC=BD得∠BCD=∠BDC=90°，那么△BCD中就有两个直角，这是不可能的事情）
∴假设不成立，∠ACB=90°
证法3
利用三角形的外接圆证明
作△ABC的外接圆，设圆心为O，连接OC,OB
∵∠BAC=30°，A在圆上
∴∠BOC=60°
∵OB=OC=半径r
∴△BOC是等边三角形,BC=OC=r
又∵AB=2BC=2r
∴AB是直径
∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)
应用举例
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直角三角形如图1，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点
立柱为BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，求BC、DE要多长？
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°
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时间：2023-11-05 04:57
勾股定理：a²+b²=c²如果知道a或b的平方，就可以用a或b加一个小数字来尝试知道c的长度，就把它拆成两个和比自己大的数字来验证。
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么A^2+B^2=C^2，即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果三角形的三条边A，B，C满足A^2+B^2=C^2。
如果将大正方形边长为c的小正方形沿对角线切开，则回到了加菲尔德证 法。相反，若将上图中两个梯形拼在一起，就变为了此证明方法。
扩展资料：
在这个定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：
1、如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS）
2、三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。
3、任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
4、任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。
证明的思路为：从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。
参考资料来源：百度百科——勾股定理
