只限时间不等号

发布网友发布时间：2022-07-09 01:12

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热心网友时间：2022-07-13 21:25

第一步：等价变换，分子增加又减去同一项，巧妙处是这一项指数的选取，正好是要证明的右端。第二步：（1）把前面（a1+a2+...+ak）用上面假设n=k成立时较小的右端乘k代替，（a1+a2+...+ak）/k≥（a1a2...ak）^(1/k),两边乘k： a1+a2+...+ak≥k（a1a2...ak）^(1/k), 因此≥成立。（2）难点是a（k+1）+（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k) 其实也很好证明（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1)，看成是k-1个数，加上a（k+1），也是k个数。根据上面假设，n=k时，（a1+a2+...+ak）/k≥（a1a2...ak）^(1/k)是成立的，注意！！！a1，a2，...，ak只是正数的代表，不限于什么正数，换成k个数：a（k+1），和k-1个（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1)，这个不等式也是成立的！代换一下，就成了： a（k+1）+（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k) 第三步：前面两项提取k之后成为：（a1a2...ak）^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k) 使用前面一开始证明的n=2时的结果，a1+a2≥2√（a1a2）（当成公式，不是当成数）（a1a2...ak）^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k) ≥2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)}^(1/2) =2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/k(k+1)]]}^(1/2) =2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）-1/k(k+1)]]}^(1/2) =2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）-1/k+1/(k+1)]]}^(1/2) =2{（a1a2...aka(k+1)）^(1/k)[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）-1/k]]}^(1/2) =2{[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）-1/k+1/k]]}^(1/2) =2{[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）]]}^(1/2) =2(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）] 然后代入即可。这里的关机键是，把前面的结果，看成是公式，不是一一对应的符号！