2011年暑假全国高中数学奥赛夏令营试题
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发布时间：2022-04-22 09:18
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时间：2024-02-23 11:01
b2=b1+2
b3=b1+b2+3
...
bn=b1+b2+...+bn-1+n
设bn的前n项和为Sn
那么bn=S(n-1)+n；也有b(n+1)=Sn+n+1
两式相减去有b(n+1)=2bn+1
进而又b(n+1)+1=2(bn+1)
所以bn+1是等比数列
不难求出bn=2^n-1；
于是Sn=2^(n+1)-2-n
分析得：
b1=a1；
b2=a2+a3；
b3=a4+a5+a6+a7；
b4=a8+..+a15；
...
b10=a512+...+a1023；
b11=a1024+...+a2047；
不难看出S10=b1+...+b10=a1+...+a1023（其他S9之类可以类推）
另外根据题意有a1024=a1，a1025=a2，...，a2046=a1023
a512=a1，a513=a2，...，a1022=a511 其他的亦不再列举
于是S=a1+a2+...+a2011
=S10+a1024+...+a2011（a2011=a988）
=S10+a1+...+a988=S10+S9+a512+...+a988（a988=a477）
=S10+S9+a1+...+a477=S10+S9+S8+a256+...+a477（a477=a222）
=S10+S9+S8+a1+...+a222=S10+S9+S8+S7+a128+..+a222（a222=a95）
=S10+S9+S8+S7+a1+...+a95=S10+S9+S8+S7+S6+a64+..+95（a95=a32）
=S10+S9+S8+S7+S6+a1+...+a32=S10+S9+S8+S7+S6+S5+a32
于是有a2011=a32=a1=1；
上面已经讨论Sn=2^(n+1)-2-n
S10+S9+S8+S7+S6+S5=2^11+2^10+2^9+2^8+2^7+2^6-2×6-(10+9+8+7+6+5)
=2^12-2^6-12-45=3975
于是总和=3975+1=3976
所以a2011=1；S2011=3976
