什么叫曲面,曲面有厚度吗
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发布时间：2022-04-22 09:10
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时间：2023-06-26 16:04
微分几何研究的主要对象之一。直观上，曲面是空间具有二个自由度的点的轨迹。设r=(x,y,z）表示三维欧氏空间E3中点的位置向量，D是二维uυ- 平面的一个区域，映射：r(u，υ）=(x(u，υ），y(u，υ），z(u，υ））（（u，υ）∈D) ⑴的像为S。它满足下列条件：①r(u，υ）是Ck阶的，即函数x(u，υ），y(u，υ），z(u，υ）具有直到k阶的连续偏导数，当它们是无穷次可微分函数或是（实）解析函数时，分别称为是C∞阶和Cω阶的；②r(u，υ）是一个同胚，即它的逆映射S→D存在且连续；③r(u，υ）是正则的，即雅可比矩阵
的秩为2，也即那么，S称为E3的Ck曲面片， C∞曲面片也称为光滑曲面片，Cω曲面片称为解析曲面片。设慏为E3中的一个子集，如果对慏中任意点p，都有E3中p的一个开集V，使得V∩慏是E3中的一个Ck曲面片，则慏 称为E3中的Ck曲面。
⑴式称为曲面的参数方程。此外，曲面有时也可用z=?(x,y）或F(x,y,z)=0来表示。
局部性质
指曲面在一点附近的几何性质。
曲面S上一条曲线，可用单变量t的函数u=u(t），υ=υ（t）来表示，即r=r(u(t），υ（t））。特别地，曲线υ=常数（u=常数）称为S的u－线（υ－线），它们彼此不相切，统称为S的参数曲线。曲面上全体参数曲线构成曲面的参数曲线网。地球上的经线和纬线构成地球表面的参数曲线网（南北极除外）。
在Ck阶曲面S 的每点，都有一张切平面，它是由过该点的曲面上一切曲线在这点的切
曲面(15张)线所组成。设p0(u0，υ0）是S的一点，考虑过p0的S上任意曲线Г：r=r(u(t），υ（t）），使得u0=u(t0），υ0=υ（t0）。Г在p0的切线方向便由向量
确定，式中分别表示u-线和υ-线的切线方向。因此，只要（u0，υ0）就是S在p0的切平面的法线方向。通常取
作为S上参数为（u，υ）的点p处的单位法向量。
曲面的第一基本形式 在曲面上一点的附近，曲面与该点的切平面只有很小的差异，因此，曲面上曲线Г在一点的弧长微分ds可用Г在该点的切向量长度来计算，即
⑵
式中 它们是曲面上点的函数。二次微分形式⑵称为曲面的第一基本形式，或线素。利用它，就可以计算曲面上一段曲线的长度、两相交曲线在交点所构成的角度及曲面上一块区域的面积。
曲面的第二基本形式 曲面在给定点p 的弯曲程度由曲面与 p点切平面的偏离程度决定。然而沿不同的切方向，曲面偏离切平面的方式可能有差异。因此，考虑p点的位置向量r沿某个给定切方向:dυ作微小变动时的改变量Δr，那么，曲面与切平面在给定方向的偏离程度可用δ=n·Δr来描述。若在Δr的展开式中只取到二阶项，则等于
⑶
式中⑶式称为曲面的第二基本形式。
过p 由给定方向:dυ和曲面法方向n唯一确定的平面W 叫做法截面，它与曲面S 的交线Г 叫做沿给定方向的法截线（图2)。设曲线Г（作为空间曲线）在p的曲率为k，主法向量为N。那么，向量kN在曲面单位法向量n上的投影kN·n称为S在p 点沿给定方向:dυ的法曲率，记作kn。利用⑵和⑶就可以计算沿给定方向:dυ的法曲率kn=Ⅱ/Ⅰ。kn为正时，表示Г的凹向与S的法向量n一致；反之，kn为负时，表示两者相反。
在曲面的每点，一般存在两个互相垂直的切方向，使得它们对应的法曲率 k1和k2是该点所有法曲率中的最大和最小值。这两个方向称为曲面在该点的主方向，而k1和k2称为主曲率。L.欧拉定理表明：若给定方向与对应于k1的主方向作成 φ角，则曲面沿这给定方向的法曲率kn（φ）是：
⑷
由⑷，只要曲面在一点的主曲率已知，曲面在该点附近的大致形状就可确定。若k1和k2同号，则kn（φ）的符号不变，这种点称为椭圆点。在椭圆点附近，曲面全部位于该点切平面的同侧。若k1和k2异号，则kn（φ）要改变两次符号，这种点称为双曲点。在双曲点附近，曲面像马鞍形。若k1和k2 中只有一个为零，这种点称为抛物点。当k1=k2=k时，⑷给出kn（φ）=k，即曲面在该点沿任何切方向都有相同的法曲率。这种点称为脐点，其中k≠0时称为圆点，k=0时称为平点。
在曲面的一点p，通过给定切方向的平面，除了法截面外，还有不经过曲面法线的其他平面Q（图2)。它与曲面的交线的曲率k，可由给定切方向的法曲率kn及Q与法截面的夹角θ所确定（默尼耶定理）：k=|kn|/cosθ。若曲面上一条曲线每点的切方向总是曲面的主方向，则称它为曲率线。当选取弧长s作参数时，曲率线上点的向径r(s）与曲面在该点的单位法向量n(s）之间存在如下关系（罗德里格斯方程）：
dn=-kdr，式中k(s）是该曲率线方向的主曲率。
主曲率k1和k2的算术平均值H称为曲面的平均曲率，又称中曲率。其算式是
平均曲率恒为0的曲面称为极小曲面。
高斯曲率 两主曲率的乘积K 称为曲面的总曲率或高斯曲率，其算式是K反映了曲面的一般弯曲程度。事实上，考虑包含一点p 的一小片曲面∑，把∑上每点的单位法向量n平移到E3的原点O，那么n终点的轨迹是以O为中心的单位球面S2上的一块区域∑。这个对应称为高斯映射。∑的弯曲程度可用∑与∑的面积之比来刻画，曲面在p 的总曲率的绝对值正是这个比值当∑收缩成p时的极限。曲面通过高斯映射，在它的像集（嶅S2)上诱导一个度量
⑸
式中⑸叫作曲面的第三基本形式，它与第一、第二基本形式之间存在如下关系：
曲面的内蕴性质和测地线 曲面上只与第一基本形式系数 E、F、G有关的几何性质称为曲面的内蕴性质。曲面的内蕴性质也可这样描述：把曲面设想为由可以弯曲但不能伸缩的材料制成，那么它的任何一部分在经受弯曲变形时，不改变其上任何线段的长度。曲面在这种无伸缩的弯曲变形下保持不变的性质就是内蕴性质。例如，在一张纸上，用直线段连接两个点，然后把纸弯卷起来，于是直线段变成了曲线段，但保持这样的性质：它仍是曲面上连接这两个已知点的最短曲线。这就是内蕴性质。相反，这条曲线的曲率却与纸的弯卷方式有关，因而不是内蕴的。曲面上曲线的内蕴弯曲程度，可以用“测地曲率”加以刻画。设Г是曲面S的一条曲线，那么Г 在一点p∈Г 的测地曲率的绝对值等于Г在p的曲面切平面上正投影像的曲率。测地曲率处处为零的曲线称为测地线，它在曲面上起着类似于直线在平面上的作用。
高斯“极妙定理” 曲面的主曲率在无伸缩弯曲变形下要发生变化，因而不是内蕴的。但是，主曲率的乘积即总曲率K却在这样的弯曲变形下保持不变，也即曲面的总曲率是内蕴的。这就是著名的高斯“极妙定理”。
曲面论基本定理 为了完全确定一片曲面的几何形状，六个函数E、F、G、L、M、N要满足什么条件?这就导致以C.F.高斯和D.科达齐命名的一组二阶偏微分方程。P.-O.博内把这些总结成下面的曲面论基本定理：设D是uυ－平面的一个单连通区域，在D上给定两个二次微分形式⑵和⑶，其中⑵正定。若它们的系数满足高斯-科达齐方程，则除了空间的位置差异外，唯一地存在一片曲面，它以⑵和⑶作为第一和第二基本形式。
整体性质
指曲面的大范围几何性质。设 S是三维欧氏空间的一个连通曲面。在S上任一点p选取一个法向量n,然后令点p在曲面上沿任意闭曲线移动一周（当S有边界时，限定p不能逾越边界）。若p 回到原处时n的正向不改变，则称S是可定向的曲面；否则就称不可定向的曲面。许多常见的曲面如球面、环面都是可定向的；但也有不可定向的曲面，最著名的就是麦比乌斯带，它是把一条矩形带扭转180度，再将头尾粘接而成（见闭曲面的分类）。
考虑可定向曲面S上一个区域D，它的边界嬠D（如果存在）由若干条逐段光滑的曲线组成。如同平面区域那样，用适当方式（如拓扑学中的三角剖分）把D分成许多多边形。用υ，e，?分别表示总的顶点数、边数和面数（多边形个数），那么，数Ⅹ（D)=υ-e+?与具体分法无关。它是D的一个重要拓扑不变量，叫做D的欧拉示性数。对于S上的单连通区域D，Ⅹ（D)=1。
作为平面上多边形外角和公式的推广，在可定向曲面S上，对于区域D有下列高斯-博内公式：
⑹
式中是边界嬠D上所有角点处的外角之和，是构成嬠D的曲线的测地曲率，K是曲面的总曲率。沿嬠D曲线积分时嬠D的正向规定如下：设n是确定S一个定向的法向量，当站在n的正方向，沿嬠D的正向走时，区域D时刻位于嬠D的左边。公式⑹把曲面的几何性质与拓扑性质联系起来了。当D是平面上单连通区域时，⑹就成为平面闭曲线的切线回转指标定理（见曲线）。如果S是紧致无边界的可定向曲面，则⑹成为
。⑺
由于这类曲面可作完全的拓扑分类，公式⑺就显得格外重要。C.B.艾伦多弗、陈省身给出了高斯－博内公式在高维流形上的推广。
高斯－博内公式有许多重要应用，其中之一就是关于曲面上向量场奇点的庞加莱定理：设S是紧致无边界的可定向曲面。对于S上任何只有孤立奇点的向量场，它在所有奇点处的指标之和等于S的欧拉示性数。因为球面（以及与球面同胚的闭曲面）的欧拉示性数为2，所以球面上的向量场必有奇点。这一点可比喻如下：若把地球上各地的风速看成一个向量场，则任何时候地球上总有一个地方没有风。
与球面同胚的紧致闭曲面中，总曲率处处大于零的那些曲面称为卵形面。J.（-S.）阿达马指出，卵形面的高斯映射是一个微分同胚，因而卵形面微分同胚于球面。卵形面作为一个整体，在空间不能无伸缩地弯曲变形，这叫做卵形面的刚性（H.李卜曼、S.科恩－福森）。关于卵形面的刚性，还有所谓闵科夫斯基问题和克里斯托费尔问题的唯一性。
从整体来说，除了象球面那样的紧致曲面外，另一类重要曲面便是非紧致的完备曲面（如平面），即它作为二维度量空间，每个柯西点列都收敛。曲面的完备性可用下列任一性质来表征：①曲面上每条测地线可以无限延长（包括构成封闭曲线）；②曲面上每个有界子集是相对紧致的。由此可见，紧致曲面必是完备的，反之不然。但如果完备曲面的总曲率处处不小于某个正常数，则它必是紧致的。这里总曲率的*是本质性的，在相反的情况下，可得到绝然不同的结论：三维欧氏空间E3中不存在总曲率处处不大于某个负常数的C2阶完备曲面（叶菲莫夫），特别是E3中不存在负常曲率的C2阶完备曲面。追问太复杂 了，不懂
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