什么叫曲面,曲面有厚度吗
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发布时间:2022-04-22 09:10
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时间:2023-06-26 16:04
曲面是一条动线,在给定的条件下,在空间连续运动的轨迹。
微分几何研究的主要对象之一。直观上,曲面是空间具有二个自由度的点的轨迹。设r=(x,y,z)表示三维欧氏空间E3中点的位置向量,D是二维uυ- 平面的一个区域,映射:r(u,υ)=(x(u,υ),y(u,υ),z(u,υ))((u,υ)∈D) ⑴的像为S。它满足下列条件:①r(u,υ)是Ck阶的,即函数x(u,υ),y(u,υ),z(u,υ)具有直到k阶的连续偏导数,当它们是无穷次可微分函数或是(实)解析函数时,分别称为是C∞阶和Cω阶的;②r(u,υ)是一个同胚,即它的逆映射S→D存在且连续;③r(u,υ)是正则的,即雅可比矩阵
的秩为2,也即那么,S称为E3的Ck曲面片, C∞曲面片也称为光滑曲面片,Cω曲面片称为解析曲面片。设慏为E3中的一个子集,如果对慏中任意点p,都有E3中p的一个开集V,使得V∩慏是E3中的一个Ck曲面片,则慏 称为E3中的Ck曲面。
⑴式称为曲面的参数方程。此外,曲面有时也可用z=?(x,y)或F(x,y,z)=0来表示。
局部性质
指曲面在一点附近的几何性质。
曲面S上一条曲线,可用单变量t的函数u=u(t),υ=υ(t)来表示,即r=r(u(t),υ(t))。特别地,曲线υ=常数(u=常数)称为S的u-线(υ-线),它们彼此不相切,统称为S的参数曲线。曲面上全体参数曲线构成曲面的参数曲线网。地球上的经线和纬线构成地球表面的参数曲线网(南北极除外)。
在Ck阶曲面S 的每点,都有一张切平面,它是由过该点的曲面上一切曲线在这点的切
曲面(15张)线所组成。设p0(u0,υ0)是S的一点,考虑过p0的S上任意曲线Г:r=r(u(t),υ(t)),使得u0=u(t0),υ0=υ(t0)。Г在p0的切线方向便由向量
确定,式中分别表示u-线和υ-线的切线方向。因此,只要(u0,υ0)就是S在p0的切平面的法线方向。通常取
作为S上参数为(u,υ)的点p处的单位法向量。
曲面的第一基本形式 在曲面上一点的附近,曲面与该点的切平面只有很小的差异,因此,曲面上曲线Г在一点的弧长微分ds可用Г在该点的切向量长度来计算,即
⑵
式中 它们是曲面上点的函数。二次微分形式⑵称为曲面的第一基本形式,或线素。利用它,就可以计算曲面上一段曲线的长度、两相交曲线在交点所构成的角度及曲面上一块区域的面积。
曲面的第二基本形式 曲面在给定点p 的弯曲程度由曲面与 p点切平面的偏离程度决定。然而沿不同的切方向,曲面偏离切平面的方式可能有差异。因此,考虑p点的位置向量r沿某个给定切方向:dυ作微小变动时的改变量Δr,那么,曲面与切平面在给定方向的偏离程度可用δ=n·Δr来描述。若在Δr的展开式中只取到二阶项,则等于
⑶
式中⑶式称为曲面的第二基本形式。
过p 由给定方向:dυ和曲面法方向n唯一确定的平面W 叫做法截面,它与曲面S 的交线Г 叫做沿给定方向的法截线(图2)。设曲线Г(作为空间曲线)在p的曲率为k,主法向量为N。那么,向量kN在曲面单位法向量n上的投影kN·n称为S在p 点沿给定方向:dυ的法曲率,记作kn。利用⑵和⑶就可以计算沿给定方向:dυ的法曲率kn=Ⅱ/Ⅰ。kn为正时,表示Г的凹向与S的法向量n一致;反之,kn为负时,表示两者相反。
在曲面的每点,一般存在两个互相垂直的切方向,使得它们对应的法曲率 k1和k2是该点所有法曲率中的最大和最小值。这两个方向称为曲面在该点的主方向,而k1和k2称为主曲率。L.欧拉定理表明:若给定方向与对应于k1的主方向作成 φ角,则曲面沿这给定方向的法曲率kn(φ)是:
⑷
由⑷,只要曲面在一点的主曲率已知,曲面在该点附近的大致形状就可确定。若k1和k2同号,则kn(φ)的符号不变,这种点称为椭圆点。在椭圆点附近,曲面全部位于该点切平面的同侧。若k1和k2异号,则kn(φ)要改变两次符号,这种点称为双曲点。在双曲点附近,曲面像马鞍形。若k1和k2 中只有一个为零,这种点称为抛物点。当k1=k2=k时,⑷给出kn(φ)=k,即曲面在该点沿任何切方向都有相同的法曲率。这种点称为脐点,其中k≠0时称为圆点,k=0时称为平点。
在曲面的一点p,通过给定切方向的平面,除了法截面外,还有不经过曲面法线的其他平面Q(图2)。它与曲面的交线的曲率k,可由给定切方向的法曲率kn及Q与法截面的夹角θ所确定(默尼耶定理):k=|kn|/cosθ。若曲面上一条曲线每点的切方向总是曲面的主方向,则称它为曲率线。当选取弧长s作参数时,曲率线上点的向径r(s)与曲面在该点的单位法向量n(s)之间存在如下关系(罗德里格斯方程):
dn=-kdr,式中k(s)是该曲率线方向的主曲率。
主曲率k1和k2的算术平均值H称为曲面的平均曲率,又称中曲率。其算式是
平均曲率恒为0的曲面称为极小曲面。
高斯曲率 两主曲率的乘积K 称为曲面的总曲率或高斯曲率,其算式是K反映了曲面的一般弯曲程度。事实上,考虑包含一点p 的一小片曲面∑,把∑上每点的单位法向量n平移到E3的原点O,那么n终点的轨迹是以O为中心的单位球面S2上的一块区域∑。这个对应称为高斯映射。∑的弯曲程度可用∑与∑的面积之比来刻画,曲面在p 的总曲率的绝对值正是这个比值当∑收缩成p时的极限。曲面通过高斯映射,在它的像集(嶅S2)上诱导一个度量
⑸
式中⑸叫作曲面的第三基本形式,它与第一、第二基本形式之间存在如下关系:
曲面的内蕴性质和测地线 曲面上只与第一基本形式系数 E、F、G有关的几何性质称为曲面的内蕴性质。曲面的内蕴性质也可这样描述:把曲面设想为由可以弯曲但不能伸缩的材料制成,那么它的任何一部分在经受弯曲变形时,不改变其上任何线段的长度。曲面在这种无伸缩的弯曲变形下保持不变的性质就是内蕴性质。例如,在一张纸上,用直线段连接两个点,然后把纸弯卷起来,于是直线段变成了曲线段,但保持这样的性质:它仍是曲面上连接这两个已知点的最短曲线。这就是内蕴性质。相反,这条曲线的曲率却与纸的弯卷方式有关,因而不是内蕴的。曲面上曲线的内蕴弯曲程度,可以用“测地曲率”加以刻画。设Г是曲面S的一条曲线,那么Г 在一点p∈Г 的测地曲率的绝对值等于Г在p的曲面切平面上正投影像的曲率。测地曲率处处为零的曲线称为测地线,它在曲面上起着类似于直线在平面上的作用。
高斯“极妙定理” 曲面的主曲率在无伸缩弯曲变形下要发生变化,因而不是内蕴的。但是,主曲率的乘积即总曲率K却在这样的弯曲变形下保持不变,也即曲面的总曲率是内蕴的。这就是著名的高斯“极妙定理”。
曲面论基本定理 为了完全确定一片曲面的几何形状,六个函数E、F、G、L、M、N要满足什么条件?这就导致以C.F.高斯和D.科达齐命名的一组二阶偏微分方程。P.-O.博内把这些总结成下面的曲面论基本定理:设D是uυ-平面的一个单连通区域,在D上给定两个二次微分形式⑵和⑶,其中⑵正定。若它们的系数满足高斯-科达齐方程,则除了空间的位置差异外,唯一地存在一片曲面,它以⑵和⑶作为第一和第二基本形式。
整体性质
指曲面的大范围几何性质。设 S是三维欧氏空间的一个连通曲面。在S上任一点p选取一个法向量n,然后令点p在曲面上沿任意闭曲线移动一周(当S有边界时,限定p不能逾越边界)。若p 回到原处时n的正向不改变,则称S是可定向的曲面;否则就称不可定向的曲面。许多常见的曲面如球面、环面都是可定向的;但也有不可定向的曲面,最著名的就是麦比乌斯带,它是把一条矩形带扭转180度,再将头尾粘接而成(见闭曲面的分类)。
考虑可定向曲面S上一个区域D,它的边界嬠D(如果存在)由若干条逐段光滑的曲线组成。如同平面区域那样,用适当方式(如拓扑学中的三角剖分)把D分成许多多边形。用υ,e,?分别表示总的顶点数、边数和面数(多边形个数),那么,数Ⅹ(D)=υ-e+?与具体分法无关。它是D的一个重要拓扑不变量,叫做D的欧拉示性数。对于S上的单连通区域D,Ⅹ(D)=1。
作为平面上多边形外角和公式的推广,在可定向曲面S上,对于区域D有下列高斯-博内公式:
⑹
式中是边界嬠D上所有角点处的外角之和,是构成嬠D的曲线的测地曲率,K是曲面的总曲率。沿嬠D曲线积分时嬠D的正向规定如下:设n是确定S一个定向的法向量,当站在n的正方向,沿嬠D的正向走时,区域D时刻位于嬠D的左边。公式⑹把曲面的几何性质与拓扑性质联系起来了。当D是平面上单连通区域时,⑹就成为平面闭曲线的切线回转指标定理(见曲线)。如果S是紧致无边界的可定向曲面,则⑹成为
。⑺
由于这类曲面可作完全的拓扑分类,公式⑺就显得格外重要。C.B.艾伦多弗、陈省身给出了高斯-博内公式在高维流形上的推广。
高斯-博内公式有许多重要应用,其中之一就是关于曲面上向量场奇点的庞加莱定理:设S是紧致无边界的可定向曲面。对于S上任何只有孤立奇点的向量场,它在所有奇点处的指标之和等于S的欧拉示性数。因为球面(以及与球面同胚的闭曲面)的欧拉示性数为2,所以球面上的向量场必有奇点。这一点可比喻如下:若把地球上各地的风速看成一个向量场,则任何时候地球上总有一个地方没有风。
与球面同胚的紧致闭曲面中,总曲率处处大于零的那些曲面称为卵形面。J.(-S.)阿达马指出,卵形面的高斯映射是一个微分同胚,因而卵形面微分同胚于球面。卵形面作为一个整体,在空间不能无伸缩地弯曲变形,这叫做卵形面的刚性(H.李卜曼、S.科恩-福森)。关于卵形面的刚性,还有所谓闵科夫斯基问题和克里斯托费尔问题的唯一性。
从整体来说,除了象球面那样的紧致曲面外,另一类重要曲面便是非紧致的完备曲面(如平面),即它作为二维度量空间,每个柯西点列都收敛。曲面的完备性可用下列任一性质来表征:①曲面上每条测地线可以无限延长(包括构成封闭曲线);②曲面上每个有界子集是相对紧致的。由此可见,紧致曲面必是完备的,反之不然。但如果完备曲面的总曲率处处不小于某个正常数,则它必是紧致的。这里总曲率的*是本质性的,在相反的情况下,可得到绝然不同的结论:三维欧氏空间E3中不存在总曲率处处不大于某个负常数的C2阶完备曲面(叶菲莫夫),特别是E3中不存在负常曲率的C2阶完备曲面。追问太复杂 了,不懂
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