证明极限 x趋向-1时,lim(x^2-2x)/(x+2)=3

发布网友发布时间：2022-06-09 12:08

共3个回答

热心网友时间：2023-09-28 10:28

对任意ε>0，要使|(x^2-2x)/(x+2) - 3|<ε
即|(x^2-2x-3x-6)/(x+2)|<ε
也即|x+1|*|x-6|/|x+2|<ε
首先限定：-1.5<x<-0.5
即有：-7.5<x-6<-6.5；0.5<x+2<1.5
则，|x+1|*|x-6|/|x+2|<7.5*|x+1|/0.5=15*|x+1|<ε
那么，|x+1|<ε/15
因此，不妨就取δ=min{ε/15，0.5}，故有：
任意ε>0，存在δ>0，使当|x+1|<δ，都有|(x^2-2x)/(x+2) - 3|<ε成立
故由ε-δ定义得，x趋向-1时,lim(x^2-2x)/(x+2)=3
有不懂欢迎追问追问在证明里可以直接说限定-1.5<x<-0.5的吗，我就是不知道怎么写过程，不过你的写得很好，看得很清楚，这样写就行了吗？还有，那些符号咋打出来的。。。

追答没错，
在证明里是可以直接说限定-1.5<x<-0.5的
这可以算是一个小技巧吧，这十分有用，能大大简化计算δ的过程
其实要证明极限，最主要的就是要找出δ
只要找出δ，题目就可以说已经解决了
那些符号其实可以用软键盘的希腊字母（右键选择这选项）就可以打出了
有不懂欢迎追问

热心网友时间：2023-09-28 10:28

对任意ε>0
存在d=min{1/2,ε/17},只要|x-(-1)|=|x+1|<d,就有
|(x^2-2x)/(x+2)-3|
=|(x^2-2x-3x-6)/(x+2)|
=|(x-6)(x+1)/(x+2)|
=|(x-6)/(x+2)|*|x+1|
而
-1/2<x+1<1/2 (由于d的定义)
1/2<x+2<3/2
|x+2|>1/2
|(x-6)/(x+2)|=|1-8/(x+2)|<=1+8/|x+2|<1+8/(1/2)=17
所以|(x-6)/(x+2)|*|x+1|<17*ε/17=ε (由于d的定义)
所以由极限定义 lim(x^2-2x)/(x+2)=3

热心网友时间：2023-09-28 10:29

分子分母在趋向-1时都不是0或是无穷那么把-1代入(x^2-2x)/(x+2)就行了 =3追问是证明，不是求解，THx