如何求反函数

发布网友 发布时间：2022-04-22 09:55

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懂视网 时间：2022-04-06 00:08

在漫长的学习数学的生涯中，函数是一个非常重要的组成部分函数的种类非常多，今天就一起来了解一下求反函数的方法吧

一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y) 。反函数x=f -1(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

当我们需要求一个函数的反函数，我们只需要将自变量和因变量置换，然后求出类似于y=?x的函数即可。

例1

解题过程：将 改写为 ，再解出，可得

例2

解题过程：将改写为，那么：

热心网友 时间：2022-04-05 21:16

1、首先看这个函数是不是单调函数，如果不是则反函数不存在如果是单调函数，则只要把x和y互换，然后解出y即可。

2、例如：

y=x^2，x=正负根号y，则f(x)的反函数是正负根号x，求完后注意定义域和值域，反函数的定义域就是原函数的值域，反函数的值域就是原函数的定义域。

扩展资料：

1、反函数的性质：

（1）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

（2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（3）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

（4）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

（5）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；

（6）反函数是相互的且具有唯一性；

（7）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；

（8）反函数的导数关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单调，可导，且f'(y)≠0，那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导，且：

（9）y=x的反函数是它本身。

2、反函数存在定理：

严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。

参考资料来源：百度百科 - 反函数

热心网友 时间：2022-04-05 22:34

可以使用arccos计算公式：cos(arcsinx)=√（1-x^2）计算。

设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y) 。反函数x=f-1(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应，y=f(x)，则y=f(x)的反函数为x=f-1(y)。存在反函数（默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"−1"指的是函数幂，但不是指数幂。

反函数存在定理

定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。

证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。

而由于f的严格单增性，对D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。

任取f(D)中的两点y1和y2，设y1<y2。因为f存在反函数f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。

若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾。

因此x1<x2，即当y1<y2时，有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。

热心网友 时间：2022-04-06 00:08

付费内容限时免费查看回答你好，求反函数的方法是把x和y互换，然后解出y即可

提问举两个例子呗！

回答y=2x的反函数y=x/2也可以写成f-1(x)=x/2。

y=2x，先用y表示x，则x=y/2，再把x和y替换即可。

同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f -1(x)=x/2-3。

提问为什么原函数乘以反函数等于1

回答反函数与原函数相乘不一定等于1。反函数与原函数不同于倒数的概念。

提问比如

等于1和不等于1的各举两例子呗！

回答这是跟取值范围有关的

大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

提问哦谢谢

回答不客气啦

热心网友 时间：2022-04-06 02:00

1. 反函数存在的条件。对于任意一个函数y＝f(x)，不一定有反函数。如y＝x2 (x∈R)，由y＝x2，解得 ，对于每一个确定的函数值y，有两个x值与之对应，不符合函数定义，所以y＝x2(x∈R)没有反函数。不难发现，只有当函数y＝f(x)的对应法则f是从定义域到值域的一一映射时，它才存在反函数。函数若存在反函数，它的反函数是唯一的。

2. 反函数也是函数。一个函数与它的反函数互为反函数，并且它们的定义域、值域互换，对应法则互逆。一个函数与它的反函数可以是两个不同的函数，也可以是同一个函数。如函数
3. 在反函数概念的学习中，先后出现了三个函数记号——y＝f(x)，x＝f－1(y)，y＝f－1(x)，它们之间的关系是：在y＝f(x)与x＝f－1(y)中，字母x，y所表示的数量相同，取值范围相同，但地位不同。在y＝f(x)中，x是自变量，y是x的函数；在x＝f－1(y)中，y是自变量，x是y的函数。y＝f(x)与x＝f－1(y)互为反函数，它们的图象相同（由于两式中x，y所表示的量完全相同）。

在y＝f(x)与y＝f－1(x)中，字母x，y的地位相同，即x是自变量，y是x的函数，但x，y表示的量的意义变换了，取值范围也互换了，即y＝f(x)中x（或y）与y＝f－1(x)中的y（或x）表示相同的量。y＝f(x)与y＝f－1(x)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称。

在y＝f－1(x)与x＝f－1(y)中，字母x，y的地位及其表示的量互相交换，但它们却是同一函数，都是y＝f(x)的反函数。函数x＝f－1(y)与y＝f－1(x)是同一函数的理由是：它们的定义域相同，值域相同，对应法则一样。

4. 反应函数的性质主要有：

（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；

（2）函数存在反函数的充要条件是，函数在它的定义域上是单调的；

（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（4）偶函数一定不存在反函数，奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数；

，其中A、C分别为函数f(x)的定义域、值域。

反函数的求法。
注意不要把f－1(x)理解为 ，防止把求反函数混为求倒数。f－1(x)表示f(x)的反函数，式子中的f－1表示对应法则，它与原来函数f(x)中的对应法则是互逆的关系。求反函数的过程主要是“解方程”的过程，即将y视为常数，将x看作未知数，用解方程的方法解出x＝f－1(y)，此时一定要注意表达式的唯一性。再将x，y的位置交换，得y＝f－1(x)。求出式子y＝f－1(x)后，一般还要注明反函数的定义域。由于反函数的定义域必须与原来函数的值域相同，由式子f－1(x)确定x的取值范围未必合适（原因是在解方程的过程中，可能出现非同解变形），因此，标注反函数的定义域很有必要，而且须结合原来函数的值域确定反函数的定义域。例如，函数 的反函数的解析式为y＝(x－1)2，由于原来函数的值域是y≥1，故反函数的定义域是x≥1，而不能是x∈R。求反函数的解题步骤可概括为“一解二换三注”。

热心网友 时间：2022-04-06 04:08

最基本的办法，就是将表达式中的x换成y，y换成x，然后求出y=g（x）的表达式就是反函数了。
主要是理解他的含义，也就是函数关于y=x的对称函数，这个有一定意义的。

热心网友 时间：2022-04-06 06:32

对于y=x²，先解出x=正负根号下y，然后将y和x交换，即y=正负根号下x，这就是f（x）的反函数，让后把原函数的定义域变为反函数的值域，把原函数的值域变为反函数的定义域。对于其他函数求反函数方法一样

热心网友 时间：2022-04-06 09:14

显然在y=3+a^(x-1)中x=1时，y=3+a^0=3+1=4成立，所以原函数一定经过点(1,4),而反函数的自变量x就是原函数的y，所以反函数的图像一定经过点(4,1).因此P的坐标是(4,1).